2017年安徽省江淮十校高考数学三模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-07-26 类型：高考模拟

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一、选择题：

1. 在复平面内，复数z=cos 3+isin 3（i为虚数单位），则|z|为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. |x|•（1﹣2x）＞0的解集为（）

A、（﹣∞，0）∪（0， $\frac{1}{2}$ ） B、（﹣∞， $\frac{1}{2}$ ） C、（ $\frac{1}{2}$ ，+∞） D、（0， $\frac{1}{2}$ ）

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3. $\int^{} \begin{matrix} \frac{π}{4} \\ 0 \end{matrix} (s i n x - a c o s x) d x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则实数a等于（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、﹣1 D、 $- \sqrt{3}$

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4. 执行如图所示的程序框图，若输入的n的值为5，则输出的S的值为（）

A、17 B、36 C、52 D、72

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5. 函数f（x）=x²﹣bx+c满足f（1+x）=f（1﹣x）且f（0）=3，则f（b^x）和f（c^x）的大小关系是（）

A、f（b^x）≤f（c^x） B、f（b^x）≥f（c^x） C、f（b^x）＞f（c^x） D、大小关系随x的不同而不同

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6. 如图，半径为5cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1cm的小圆，现将半径为1cm的一枚硬币抛到此纸板上，使整块硬币完全随机落在纸板内，则硬币与小圆无公共点的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{21}{25}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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7. 如图，正四面体ABCD中，E、F分别是棱BC和AD的中点，则直线AE和CF所成的角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8. 已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F₁F₂ ，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形．若|PF₁|=10，记椭圆与双曲线的离心率分别为e₁ ， e₂ ，则e₁•e₂的取值范围是（）

A、（ $\frac{1}{3}$ ，+∞） B、（ $\frac{1}{5}$ ，+∞） C、（ $\frac{1}{9}$ ，+∞） D、（0，+∞）

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9. 已知a＞0，x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x \geq 1 \\ x + y \leq 3 \\ y \geq a (x - 3) \end{matrix}$ ，若z=2x+y的最小值为1，则a等于（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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10. 定义：F（x，y）=y^x（x＞0，y＞0），已知数列{a_n}满足：a_n= $\frac{F (n ， 2)}{F (2 ， n)}$ （n∈N^*），若对任意正整数n，都有a_n≥a_k（k∈N^*）成立，则a_k的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{9}{8}$ D、 $\frac{8}{9}$

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11. 一光源P在桌面A的正上方，半径为2的球与桌面相切，且PA与球相切，小球在光源P的中心投影下在桌面产生的投影为一椭圆，如图所示，形成一个空间几何体，且正视图是Rt△PAB，其中PA=6，则该椭圆的短轴长为（）

A、6 B、8 C、 $4 \sqrt{3}$ D、3

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12. 设函数f（x）满足xf′（x）+f（x）= $\frac{l n x}{x}$ ，f（e）= $\frac{1}{e}$ ，则函数f（x）（）

A、在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减 B、在（0，+∞）上单调递增 C、在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增 D、在（0，+∞）上单调递减

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二、填空题

13. 设有两个命题，p：关于x的不等式a^x＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}；q：函数y=lg（ax²﹣x+a）的定义域为R．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是．

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14. $(1 + 2 x^{2}) {(x - \frac{1}{x})}^{8}$ 的二项展开式中常数项是．（用数字作答）

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15. 已知向量 $\vec{| a |} = 2$ ， $\vec{| b |}$ 与 $(\vec{b} - \vec{a})$ 的夹角为30°，则 $\vec{| b |}$ 最大值为．

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16. 如图，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A₁DE．若M为线段A₁C的中点，则在△ADE翻折过程中：
①|BM|是定值；
②点M在某个球面上运动；
③存在某个位置，使DE⊥A₁C；
④存在某个位置，使MB∥平面A₁DE．
其中正确的命题是．

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三、解答题

17. 已知向量 $\vec{m}$ =（sinx，﹣1），向量 $\vec{n}$ =（ $\sqrt{3}$ cosx，﹣ $\frac{1}{2}$ ），函数f（x）=（ $\vec{m}$ + $\vec{n}$ ）• $\vec{m}$ ．

(1)、求f（x）的最小正周期T；

(2)、已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=2 $\sqrt{3}$ ，c=4，且f（A）恰是f（x）在[0， $\frac{π}{2}$ ]上的最大值，求A和b．

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18. 四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD是菱形，且PD=DA=2，∠CDA=60°，过点B作直线l∥PD，Q为直线l上一动点．

(1)、求证：QP⊥AC；

(2)、当二面角Q﹣AC﹣P的大小为120°时，求QB的长；

(3)、在（2）的条件下，求三棱锥Q﹣ACP的体积．

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19. 医生的专业能力参数K可有效衡量医生的综合能力，K越大，综合能力越强，并规定：能力参数K不少于30称为合格，不少于50称为优秀．某市卫生管理部门随机抽取300名医生进行专业能力参数考核，得到如图所示的能力K的频率分布直方图：

(1)、求出这个样本的合格率、优秀率；

(2)、现用分层抽样的方法从中抽出一个样本容量为20的样本，再从这20名医生中随机选出2名．
①求这2名医生的能力参数K为同一组的概率；
②设这2名医生中能力参数K为优秀的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．

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20.
如图，已知椭圆C₁的中心在原点O，长轴左、右端点M、N在x轴上，椭圆C₂的短轴为MN，且C₁、C₂的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C₁交于两点，与C₂交于两点，这四点纵坐标从大到小依次为A、B、C、D．

(1)、设 $e = \frac{1}{2}$ ，求|BC|与|AD|的比值；

(2)、若存在直线l，使得BO∥AN，求椭圆离心率e的取值范围．

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21. 已知函数f（x）=x²+ $\frac{2}{x}$ +alnx（x＞0，a为常数）．

(1)、讨论函数g（x）=f（x）﹣x²的单调性；

(2)、对任意两个不相等的正数x₁、x₂ ，求证：当a≤0时， $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} > f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ ．

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22. 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．直线l的参数方程是 ${\begin{matrix} x = - 1 + \frac{3}{5} t \\ y = - 1 + \frac{4}{5} t \end{matrix}$ （t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ= $\sqrt{2}$ sin（ $θ + \frac{π}{4}$ ）．

(1)、求曲线C的直角坐标方程；

(2)、设直线l与曲线C相交于M、N两点，求M、N两点间的距离．

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23. 已知函数f（x）=|x+4|﹣|x﹣1|．

(1)、解不等式f（x）＞3；

(2)、若不等式f（x）+1≤4^a﹣5×2^a有解，求实数a的取值范围．

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