浙江省杭州八校联盟2019-2020学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2019-12-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {2, 0, 1, 9}$ ， $B = {7, 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${1}$ C、 ${0, 1}$ D、 ${0, 1, 2, 7, 9}$

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2. 函数 $f (x) = \log_{4} (9 - x)$ 的定义域是（）

A、 $(0, 9)$ B、 $(9, + \infty)$ C、 $(- \infty, 9)$ D、 $(- \infty, 4)$

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3. 下列哪组中的两个函数是同一函数（）

A、 $y = {(\sqrt{x})}^{2}$ 与 $y = x$ B、 $y = l n x^{2}$ 与 $y = 2 l n x$ C、 $y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ 与 $y = x + 1$ D、 $y = \frac{x^{2} + 1}{x}$ 与 $y = x + \frac{1}{x}$

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4. 下列函数中，既是偶函数又在 $(0, + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = 3 x$ B、 $y = | x | + 3$ C、 $y = - x^{2} + 2$ D、 $y = 2^{x}$

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5. 已知 $a = {0.5}^{4}$ ， $b = l o g_{4} 0.5$ ， $c = 4^{0.5}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < c < b$ C、 $a < b < c$ D、 $b < c < a$

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6. 已知函数 $y = a^{x + 2} + 1 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象恒过定点 $P$ ，则点 $P$ 的坐标是（）

A、 $(- 2, 2)$ B、 $(- 2, 1)$ C、 $(- 3, 1)$ D、 $(- 3, 2)$

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7. 已知函数 $y = f (x)$ 的定义域是 $R$ ，值域为 $[- 2 ， 3]$ ，则值域也为 $[- 2 ， 3]$ 的函数是（）

A、 $y = f (x) + 1$ B、 $y = f (x + 1)$ C、 $y = - f (x)$ D、 $y = | f (x) |$

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8. 定义运算 $a \otimes b = {\begin{array}{l} a (a \leq b) \\ b (a > b) \end{array}$ ，则函数 $f (x) = 1 \otimes {(\frac{1}{2})}^{x}$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的单调函数，且对任意实数 $x$ ，都有 $f [f (x) - x] = 4$ ，则 $f (3)$ 的值为（）

A、3 B、5 C、7 D、9

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10. 定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对于定义域上的任意 $x_{1}, x_{2}$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，恒有 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则称函数 $f (x)$ 为“理想函数”．给出下列四个函数：① $f (x) = 1$ ；② $f (x) = x^{2}$ ；③ $f (x) = \sqrt{x}$ ；④ $f (x) = x^{2} + x$ ，能被称为“理想函数”的有（）个．

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

11. 已知集合 $A = {m, 7}$ ，集合 $B = {7, m^{2}}$ ，若 $A \cup B = {- 1, 1, 7}$ ，则实数 $m =$ ．

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2}, x \geq 1, \\ 1 - 2 x, x < 1, \end{array}$ 则 $f (- 1) =$ ， $f (f (- 1)) =$ ．

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13. 若函数 $f (x) = 2 x^{2} - m x + 3$ ，当 $x \in (- \infty, - 2]$ 时是减函数，当 $x \in [- 2, + \infty)$ 时是增函数，则 $m =$ .

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14. 定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足：当 $x \geq 0$ ， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，则 $f (- 2) =$ ，当 $x < 0$ 时， $f (x) =$ ．

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15. 函数 $y = \log_{2} (- x^{2} + 4 x)$ 的增区间是，值域是．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x + 1 ， x \leq 0 \\ | \lg x | ， x > 0 \end{array}$ ，存在实数 $a < b < c$ 满足 $f (a) = f (b) = f (c)$ ，则 $a b c$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 计算下列各式的值．

(1)、 ${0.027}^{\frac{1}{3}} + {(\frac{9}{16})}^{\frac{1}{2}} + {(2 - π)}^{0}$ ；

(2)、 $\lg 100 - \log_{9} 4 \cdot \log_{4} 3 - 3^{\log_{3} 2}$ ．

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18. 已知集合 $A = {- 2, 2}$ ， $B = {x | (x - 2) (a x - 1) = 0}$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数 $a$ 的取值集合．

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19. 已知幂函数 $y = f (x) = x^{α}$ 的图象过点 $(5 ， m)$ 和 $(4 ， 2)$ ．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、若函数 $y = g (x) = \log_{a} f (x) (a > 0 ， a \neq 1)$ 在区间 $[3 ， 9]$ 上的最大值比最小值大 $1$ ，求实数 $a$ 的值．

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20. 设二次函数 $f (x) = x^{2} + a x + b$ 满足 $f (0) = 1$ ．

(1)、已知对于任意的实数 $x$ ，不等式 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若对于任意的 $a \in [- 8, - 7]$ ，不等式 $f (x) + 11 \leq 0$ 恒成立，求实数 $x$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{2 \cdot 3^{x}}{3^{x} + 3^{- x}}$ ，

(1)、判断函数 $y = g (x) = f (x) - 1$ 的奇偶性，并求函数 $y = g (x)$ 的值域；

(2)、若实数 $m$ 满足 $g (m) + g (m - 2) > 0$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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