吉林省长春市德惠市九校2019-2020学年高二上学期文数期中考试试卷

试卷更新日期：2019-12-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列说法中，正确的是（）

A、命题“若 $a m^{2} < b m^{2}$ ，则 $a < b$ ”的逆命题是真命题 B、命题“存在 $x \in R, x^{2} - x > 0$ ”的否定是：“任意 $x \in R, x^{2} - x \leq 0$ ” C、命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题 D、已知 $x \in R$ ，则“ $x > 1$ ”是“ $x > 2$ ”的充分不必要条件

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2. 椭圆 $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，一条直线经过 $F_{1}$ 与椭圆交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $Δ A B F_{2}$ 的周长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、6 C、 $4 \sqrt{3}$ D、12

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3. 曲线 $y = - \frac{1}{x}$ 在 $(1 ， - 1)$ 处的切线的斜率为（）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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4. 函数 $f (x) = ln x - x$ 在 $(0, e]$ 上的最大值为（）

A、 $- 1$ B、 $1 - e$ C、 $- e$ D、 $0$

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5. 已知函数 $f (x)$ 的导函数 $f (x)$ ，且满足 $f (x) = 3 x^{2} + 2 x f^{'} (2)$ ，则 $f^{'} (5) =$ （）

A、5 B、6 C、7 D、-12

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6. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为5，则其渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} x$ C、 $y = \pm 2 \sqrt{6} x$ D、 $y = \pm \sqrt{3} x$

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7. 若函数 $y = x^{3} - 3 b x + 1$ 在区间 $[1 ， 2]$ 内是减函数， $b \in R$ ，则（）

A、 $b \leq 4$ B、 $b \leq 1$ C、 $b \geq 4$ D、 $b \geq 1$

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8. 椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆上，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 90^{°}$ ，则 $Δ F_{1} P F_{2}$ 的面积是（）

A、8 B、4 C、2 D、1

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9. 已知双曲线方程为 $x^{2} - y^{2} = 4$ ，过点 $A (3, 1)$ 作直线 $l$ 与该双曲线交于 $M$ ， $N$ 两点，若点 $A$ 恰好为 $M N$ 中点，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $y = 3 x - 8$ B、 $y = - 3 x + 8$ C、 $y = 3 x - 10$ D、 $y = - 3 x + 10$

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10. 已知函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，那么函数 $f (x)$ 的图象最有可能的是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 如图，过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 的直线 $L$ 交抛物线于 $A 、 B$ 两点，交其准线于点 $C$ ，若 $| A F | = 4$ 且 $| B C | = 2 | B F |$ ，则此抛物线的方程为（）

A、 $y^{2} = x$ B、 $y^{2} = 2 x$ C、 $y^{2} = 4 x$ D、 $y^{2} = 8 x$

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12. 若 $y = f (x)$ 在 $x > 0$ 上可导，且满足： $x f^{'} (x) - f (x) > 0$ 在 $(0 ， + \infty)$ 恒成立，又常数 $a ， b$ 满足 $a > b > 0$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a f (a) < b f (b)$ B、 $a f (a) > b f (b)$ C、 $b f (a) < a f (b)$ D、 $b f (a) > a f (b)$

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二、填空题

13. 函数 $f (x)$ 在 $x = 3$ 处的切线方程是 $y = 2 x + 1$ ，则 $f (3) + f^{'} (3) =$ .

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14. 已知抛物线 $x^{2} = a y$ 的焦点恰好为双曲线 $y^{2} - x^{2} = 2$ 的上焦点，则 $a$ =

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15. 已知函数f（x）=x³+mx²+（m+6）x+1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是．

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16. 已知F₁ ， F₂分别是椭圆的左、右焦点，现以F₂为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M、N，若过F₁的直线MF₁是圆F₂的切线，则椭圆的离心率为．

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三、解答题

17. 命题 $p$ ：方程 $x^{2} - 3 x + m = 0$ 有实数解，命题 $q$ ：方程 $\frac{x^{2}}{9 - m} + \frac{y^{2}}{m - 2} = 1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆．

(1)、若命题 $p$ 为真，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若命题 $p \land q$ 为真，求 $m$ 的取值范围．

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18. 已知点 $M$ 到点 $F (1, 0)$ 的距离等于点 $M$ 到直线 $x + 1 = 0$ 的距离，设点 $M$ 的轨迹是曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程.

(2)、过点 $F (1, 0)$ 且斜率为1的直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于两点 $A, B$ ，求线段 $A B$ 的长.

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19. 已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + m$ .

(1)、求函数 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + m$ 的单调递增区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 2]$ 上的最大值12，求函数 $f (x)$ 在该区间上的最小值.

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $P (2, 1)$ ,且离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ : $y = \frac{1}{2} x + m$ ，直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，求 $△ P A B$ 面积的最大值.

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21. 中心在原点的双曲线 $C$ 的右焦点为 $F (\frac{\sqrt{6}}{2}, 0)$ ,渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{2} x$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、直线 $y = k x - 1$ 与双曲线 $C$ 交于 $P ， Q$ 两点，试探究，是否存在以线段 $P Q$ 为直径的圆过原点。若存在，求出 $k$ 的值，若不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2}$ 与函数 $g (x) = a \ln x$ 在点 $(1 ， 0)$ 处有公共的切线，设 $F (x) = f (x) - m g (x)$ $(m \neq 0)$ .

(1)、求 $a$ 的值

(2)、求 $F (x)$ 在区间 $[1 ， e]$ 上的最小值.

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