2016-2017学年四川省成都市彭州市五校联考高一下学期期中数学试卷

试卷更新日期：2017-07-26 类型：期中考试

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一、选择题

1. 如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题一定成立的是（）

A、a²＜b² B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、a³b²＜a²b³ D、ac²＜bc²

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3. 一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且此梯形的面积为 $\sqrt{2}$ ，则原梯形的面积为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、2 $\sqrt{2}$ D、4

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4. 已知数列{a_n}为等差数列，且a₁+a₇+a₁₃=π，则tan（a₂+a₁₂）的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\pm \sqrt{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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5. 若不等式（m﹣1）x²+（m﹣1）x+2＞0的解集是R，则m的范围是（）

A、（1，9） B、（﹣∞，1]∪（9，+∞） C、[1，9） D、（﹣∞，1）∪（9，+∞）

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6. △ABC中，角A，B，C所对边a，b，c，若a=3，C=120°，△ABC的面积S= $\frac{15 \sqrt{3}}{4}$ ，则c=（）

A、5 B、6 C、 $\sqrt{39}$ D、7

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7. 已知数列{a_n}，a₁= $\frac{1}{4}$ ，a_n=1﹣ $\frac{1}{a_{n - 1}}$ （n≥2），则a₂₀₁₄=（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、﹣3 D、 $\frac{1}{5}$

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8. 设a＞0，b＞0，若 $\sqrt{3}$ 是3^a和3^b的等比中项，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为（）

A、6 B、 $4 \sqrt{2}$ C、8 D、9

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9. △ABC的三个内角A，B，C对应的边分别a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，则角B等于（）

A、30° B、60° C、90° D、120°

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10. 已知等比数列{a_n}中a₂=2，a₅= $\frac{1}{4}$ ，则a₁•a₂+a₂•a₃+a₃•a₄+…+a_n•a_n₊₁等于（）

A、16（1﹣4^﹣ⁿ） B、16（1﹣2ⁿ） C、 $\frac{32}{3} (1 - 4^{- n})$ D、 $\frac{32}{3} (1 - 2^{- n})$

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11. 已知两个等差数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为A_n和B_n ，且 $\frac{A_{n}}{B_{n}} = \frac{7 n + 57}{n + 3}$ ，则使得 $\frac{a_{n}}{b_{n}}$ 为整数的正整数n的个数是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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12. 设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，令{x}=x﹣[x]，则{ $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ }，[ $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ ]， $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ （）

A、是等差数列但不是等比数列 B、是等比数列但不是等差数列 C、既是等差数列又是等比数列 D、既不是等差数列也不是等比数列

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二、填空题

13. 若关于x的不等式﹣ $\frac{1}{2} x^{2}$ +2x＞﹣mx的解集为 {x|0＜x＜2}，则m= ．

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14. 已知正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n ，若S₃=3，S₉﹣S₆=12，则S₆= ．

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15. 在△ABC中， $c o s (\frac{π}{4} + A) = \frac{5}{13}$ ，则sin2A= ．

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16. 等差数列{a_n}前n项和为S_n ，已知（a₂﹣2）³+2013（a₂﹣2）=sin $\frac{2014 π}{3}$ ，（a₂₀₁₃﹣2）³+2013（a₂₀₁₃﹣2）=cos $\frac{2015 π}{6}$ ，则S₂₀₁₄= ．

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三、解答题

17. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，它的轴截面面积是392cm² ，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线和两底面的半径．

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18. 已知 $\vec{a} = (s i n x ， - c o s x)$ ， $\vec{b} = (c o s x ， \sqrt{3} c o s x)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

(1)、求f（x）的最小正周期；

(2)、当 $0 \leq x \leq \frac{π}{2}$ 时，求函数f（x）的值域．

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19. 已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列

(1)、若sinC=2sinA，求cosB的值；

(2)、求角B的最大值．并判断此时△ABC的形状．

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20. 如图，甲船以每小时15 $\sqrt{2}$ 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A₁处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B₁处，此时两船相距20海里，当甲船航行40分钟到达A₂处时，乙船航行到甲船的南偏西45°方向的B₂处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？

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21. 已知等差数列{a_n}满足a₄=5，a₂+a₈=14，数列{b_n}满足b₁=1，b_n₊₁=2 $^{a_{n} + 3}$ •b_n ．

(1)、求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；

(2)、求数列{ $\frac{1}{l o g_{2} b_{n + 1}}$ }的前n项和；

(3)、若c_n=a_n•（ $\sqrt{2}$ ） $^{a_{n} + 1}$ ，求数列{c_n}的前n项和S_n ．

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22. 已知数列{a_n}的首项a₁= $\frac{3}{5}$ ，a_n₊₁= $\frac{3 a_{n}}{2 a_{n} + 1}$ ，n=1，2，…

(1)、求证：{ $\frac{1}{a_{n}}$ ﹣1}是等比数列，并求出{a_n}的通项公式；

(2)、证明：对任意的x＞0，a_n≥ $\frac{1}{1 + x}$ ﹣ $\frac{1}{{(1 + x)}^{2}}$ （ $\frac{2}{3^{n}}$ ﹣x），n=1，2，…

(3)、证明：n﹣ $\frac{2}{5}$ ≥a₁+a₂+…+a_n＞ $\frac{n^{2}}{n + 1}$ ．

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