浙江省台州市台州三区三校2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2019-12-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列各交通标志中，不是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. ⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）

A、相交 B、相切 C、相离 D、无法确定

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3. 一元二次方程3x²-6x+4=0根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、有两个实数根 D、没有实数根

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4. 二次函数y＝2（x﹣3）²+2图象向左平移6个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）

A、y＝2（x-9）² B、y＝2（x+3）² C、y＝2（x+3）²+4 D、y＝2（x-9）²+4

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5. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB=30°，则∠DAC的度数是（）

A、 $60^{\circ}$ B、 $65^{\circ}$ C、 $70^{\circ}$ D、 $75^{\circ}$

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6. 为执行“均衡教育”政策，某区2018年投入教育经费7000万元，预计到2020年投入2.317亿元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（）

A、7000（1+x²）＝23170 B、7000+7000（1+x）+7000（1+x）²＝23170 C、7000（1+x）²＝23170 D、7000+7000（1+x）+7000（1+x）²＝2317

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7. 如图，⊙ $O$ 与正方形 $A B C D$ 的两边 $A B 、 A D$ 相切，且 $D E$ 与⊙ $O$ 相切于点 $E$ .若 $D E = 6$ ， $A B = 11$ ，则⊙ $O$ 的半径为（）

A、 $5$ B、 $6$ C、 $\sqrt{30}$ D、 $\frac{11}{2}$

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8. 二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，对称轴是x=－1．有以下结论：①abc>0，②4ac<b² ， ③2a+b=0，④a－b+c>2，其中正确的结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 在解方程（x²﹣2x）²﹣2（x²﹣2x）-3＝0时，设x²﹣2x=y，则原方程可转化为y²﹣2y-3＝0，解得y₁＝-1，y₂＝3，所以x²﹣2x=-1或x²﹣2x=3，可得x₁=x₂=1，x₃=3，x₄=-1.我们把这种解方程的方法叫做换元法.对于方程：x²+ $\frac{1}{x^{2}}$ ﹣3x﹣ $\frac{3}{x}$ =12，我们也可以类似用换元法设x+ $\frac{1}{x}$ =y，将原方程转化为一元二次方程，再进一步解得结果，那么换元得到的一元二次方程式是（）

A、y²﹣3y﹣12＝0 B、y²+y﹣8＝0 C、y²﹣3y﹣14＝0 D、y²﹣3y﹣10＝0

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10. 如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线 $C_{1}$ ： $y = x^{2}$ （x≥0）和抛物线 $C_{2}$ ： $y = \frac{x^{2}}{4}$ （x≥0）交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C₂交于点C，D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C₁交于点E，F，则 $\frac{S_{Δ O B F}}{S_{Δ E A D}}$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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二、填空题

11. 下列函数：①y＝3x²；②y＝-3（x+3）²；③y＝-3x²-1；④y＝-2x²+5；⑤y＝-（x-1）² ，其中函数图象形状、开口方向相同的是.

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12. 写出一个一元二次方程，使其有一个根为1，并且二次项系数也为1，方程为．

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13. 如图，已知圆周角∠ACB=130°，则圆心角∠AOB= ．

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14. 在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地.如图，自建房占地是边长为8m的正方形ABCD，改建的绿地为矩形AEFG，其中点E在AB上，点G在AD的延长线上，且DG＝2BE.那么当BE＝m时，绿地AEFG的面积最大．

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15. 如图所示，用一张斜边长为25的红色直角三角形纸片，一张斜边长为50的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，恰好能拼成一个直角三角形，则红、蓝两张三角形纸片的面积之和是.

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16. 如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，点M是线段PQ的中点．如图，在直角坐标系中，△ABO的顶点A、B、O的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（0，0），点列P₁、P₂、P₃、…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称，点P₁与点P₂关于点A对称，点P₂与点P₃关于点B对称，点P₃与点P₄关于点O对称，点P₄与点P₅关于点A对称，点P₅与点P₆关于点B对称，点P₆与点P₇关于点O对称，…，且这些对称中心依次循环，已知P₁的坐标是（1，1），点P₂₀₁₉的坐标为．

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三、解答题

17. 解方程：

(1)、x²-10x+25=4

(2)、3x²+6x-4=0

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18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为 $A (- 4 ， 3) ， B (- 3 ， 1) ， C (- 1 ， 3)$ .请按下列要求画图；

(1)、①将 $Δ A B C$ 先向右平移 $4$ 个单位长度，在向上平移 $2$ 个单位长度，得到 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，画出 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ .
② $Δ A_{2} B_{2} C_{2}$ 与 $Δ A B C$ 关于原点 $O$ 成中心对称，画出 $Δ A_{2} B_{2} C_{2}$ .

(2)、在（1）中所得的 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ 和 $Δ A_{2} B_{2} C_{2}$ 与关于点 $M$ 成中心对称，则点 $M$ 的坐标为．

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19. 某学习小组在研究函数y=

\frac{1}{6}

x³﹣2x的图象与性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分．

…

﹣4

﹣3.5

﹣3

﹣2

﹣1

3.5

…

﹣ $\frac{8}{3}$

﹣ $\frac{7}{48}$

$\frac{3}{2}$

$\frac{8}{3}$

$\frac{11}{6}$

﹣ $\frac{11}{6}$

﹣ $\frac{8}{3}$

﹣ $\frac{3}{2}$

$\frac{7}{48}$

$\frac{8}{3}$

…

(1)、请补全函数图象；

(2)、方程

\frac{1}{6}

x³﹣2x=﹣2实数根的个数为；

(3)、观察图象，写出该函数的两条性质．

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20. 如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．

(1)、证明：DE为⊙O的切线；

(2)、若BC＝4，求DE的长．

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21. 如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E．

(1)、求此抛物线的解析式．

(2)、若直线y=x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积．

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22. 为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．

(1)、该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

(2)、如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？

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23. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．

(1)、如图1，DE与BC的数量关系是；

(2)、如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；

(3)、若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．

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24.

(1)、知识储备
①如图 1，已知点 P 为等边△ABC 外接圆的弧BC 上任意一点．求证：PB+PC= PA．

②定义：在△ABC 所在平面上存在一点 P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点 P 为△ABC的费马点，此时 PA+PB+PC 的值为△ABC 的费马距离．

(2)、知识迁移
①我们有如下探寻△ABC (其中∠A，∠B，∠C 均小于 120°)的费马点和费马距离的方法：

如图 2，在△ABC 的外部以 BC 为边长作等边△BCD 及其外接圆，根据(1)的结论，易知线段▲ 的长度即为△ABC 的费马距离.

②在图 3 中，用不同于图 2 的方法作出△ABC 的费马点 P(要求尺规作图).

(3)、知识应用
①判断题（正确的打√，错误的打×）：

ⅰ.任意三角形的费马点有且只有一个（   ）；

ⅱ.任意三角形的费马点一定在三角形的内部（   ）.

②已知正方形 ABCD，P 是正方形内部一点，且 PA+PB+PC 的最小值为 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ ，求正方形 ABCD 的

边长．

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