2016-2017学年四川省绵阳市三台县高二下学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-07-25 类型：期中考试

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一、选择题

1. 命题“∀x∈N，x²＞x”的否定为（）

A、∀x∈N，x²≤x B、∃x₀∈N， $x_{0}^{2}$ ≤x₀ C、∀x∉N，x²＞x D、∃x₀∉N， $x_{0}^{2}$ ≤x₀

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2. 不等式ax²+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，那么（）

A、a＜0，△＜0 B、a＜0，△≤0 C、a＞0，△≥0 D、a＞0，△＞0

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3. 设x∈R，则“x³=x“是“x=1“的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 若m＜n＜0，则下列不等式中正确的是（）

A、 $\frac{1}{n} > \frac{1}{m}$ B、|n|＞|m| C、 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n} > 2$ D、m+n＞mn

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5. 已知a，b∈（0，1）记M=a•b，N=a+b﹣1则M与N的大小关系是（）

A、M＜N B、M=N C、M＞N D、不确定

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6. 设变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y + 2 \geq 0 \\ x + y \geq 0 \\ x \leq 0 \end{matrix}$ ，则z=6x﹣y的最小值为（）

A、﹣8 B、0 C、﹣2 D、﹣7

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7. 已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，x²＞0，则（　　）

A、命题p∨q是假命题 B、命题p∧q是真命题 C、命题p∧（￢q）是真命题 D、命题p∨（￢q）是假命题

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8. 若p的否命题是命题q的逆否命题，则命题p是命题q的（）

A、逆命题 B、否命题 C、逆否命题 D、p与q是同一命题

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9. 若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x³﹣ax²﹣2bx在x=1处有极值，则 $\frac{4}{a}$ + $\frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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10. 已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=e^x﹣3ax，其中a为实数，若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，则a的取值范围是（）

A、（ $\frac{e}{3}$ ，+∞） B、[ $\frac{e}{3}$ ，+∞） C、（1，+∞） D、[1，+∞）

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12. 已知两曲线f（x）= $\frac{1}{2}$ x²+ax与g（x）=2a²lnx+b有公共点，且在该点处有相同的切线，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）

A、e $^{\frac{1}{2}}$ B、2e $^{\frac{1}{2}}$ C、e $^{\frac{2}{3}}$ D、 $\frac{3}{2}$ e $^{\frac{2}{3}}$

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二、填空题

13. 设x∈R，则不等式|x﹣3|＜1的解集为．

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14. 已知f（x）= $\frac{2^{x}}{2 (l n 2 - 1) x}$ ，则f′（1）= ．

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15. 若方程 $\frac{1}{2}$ kx﹣lnx=0有两个实数根，则k取值范围是．

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16. 已知关于x的一元二次不等式ax²+2x+b＞0的解集为{x|x≠c}，则 $\frac{a^{2} + b^{2} + 1}{a + c}$ （其中a+c≠0）的取值范围为．

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三、解答题

17. 已知关于x的不等式ax²﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}．

(1)、求实数a，b的值；

(2)、解关于x的不等式： $\frac{x + 3}{a x - b}$ ＞0．

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18. 定义在R上的函数f（x）= $\frac{1}{3}$ x³+cx+3（c为常数），f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．

(1)、求函数y=f（x）的解析式；

(2)、设g（x）=4lnx﹣f′（x），（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），求g（x）的极值．

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19. 某单位决定建造一批简易房（房型为长方体状，房高2.5米），前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算（即：钢板的高均为2.5米，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格），每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元．房顶用其它材料建造，每平方米材料费为200元．每套房材料费控制在32000元以内．

(1)、设房前面墙的长为x，两侧墙的长为y，所用材料费为p，试用x，y表示p；

(2)、在材料费的控制下简易房面积S的最大值是多少？并指出前面墙的长度x应为多少米时S最大．

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20. 已知函数f（x）=lnx﹣ $\frac{a (x - 1)}{x}$ （a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求证：∀x∈（1，2），不等式 $\frac{1}{l n x}$ ﹣ $\frac{1}{x - 1}$ ＜ $\frac{1}{2}$ 恒成立．

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