2016-2017学年山东省烟台市高二下学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-07-25 类型：期中考试

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一、选择题

1. 因为i是虚数单位，复数 $z = \frac{i^{2017}}{1 + i}$ ，则z的共轭复数是（）

A、 $\frac{1}{2} + \frac{i}{2}$ B、 $\frac{1}{2} - \frac{i}{2}$ C、 $- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$ D、 $- \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

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2. 用数学归纳法证明1+a+a²+…+aⁿ⁺¹= $\frac{1 - a^{n + 2}}{1 - a}$ （a≠1，n∈N^*），在验证n=1成立时，左边的项是（）

A、1 B、1+a C、1+a+a² D、1+a+a²+a⁴

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3. 下列推理过程属于演绎推理的为（）

A、老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验 B、由1=1² ， 1+3=2² ， 1+3+5=3² ， …得出1+3+5+…+（2n﹣1）=n² C、由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线（四面体每一个顶点与对面重心的连线）交于一点 D、通项公式形如a_n=cqⁿ（cq≠0）的数列{a_n}为等比数列，则数列{﹣2ⁿ}为等比数列

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4. 极坐标方程ρ²cos2θ+1=0表示的曲线是（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

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5. 已知f（x）=x²+2x•f′（1），则 f′（0）等于（）

A、﹣2 B、2 C、1 D、﹣4

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6. 直线 ${\begin{matrix} x = x_{0} + t c o s α \\ y = y_{0} + t s i n α \end{matrix}$ （t为参数，α是直线的倾斜角）上有两点P₁ ， P₂ ，它们所对应的参数值分别是t₁ ， t₂ ，则|P₁P₂|等于（）

A、t₁+t₂ B、|t₁|+|t₂| C、|t₁+t₂| D、|t₁﹣t₂|

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7. 已知函数f（x）=（2x﹣x²）e^x ，给以下四个结论：①f（x）＞0的解集为{x|0＜x＜2}；② $f (- \sqrt{2})$ 是极小值， $f (\sqrt{2})$ 是极大值；③f（x）有极小值，但无最小值；④f（x）有极小值，也有最小值．其中正确的是（）

A、①② B、①②③ C、①②④ D、②④

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8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，将直线 $y = \frac{x}{2}$ 与直线x=1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积 $V = \int_{0}^{1} π {(\frac{x}{2})}^{2} d x = \frac{π}{12} x^{3} |_{0}^{1} = \frac{π}{12}$ ，以此类比：将曲线y=x²（x≥0）与直线y=2及y轴所围成（）

A、π B、2π C、3π D、4π

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9. 若函数f（x）=x（x﹣c）²在x=3处有极大值，则c=（）

A、9 B、3 C、3或9 D、以上都不对

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10. 若函数f（x）=lnx+（x﹣b）²（b∈R）在区间[ $\frac{1}{2}$ ，2]上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是（）

A、（﹣∞， $\frac{3}{2}$ ） B、（﹣∞， $\frac{9}{4}$ ） C、（﹣ $\frac{3}{2}$ ， $\frac{9}{4}$ ） D、（ $\frac{3}{2}$ ，+∞）

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11. 已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数 $g (x) = \frac{f (x)}{e^{x}}$ 的单调递增区间为（）

A、（0，4） B、 $(- \infty ， 1) ， (\frac{4}{3} ， 4)$ C、（0，1），（4，+∞） D、（﹣∞，0），（1，4）

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12. 已知函数y=f（x）的图象在区间[a，b]上是连续不断的，如果存在x₀∈[a，b]，使得 $| f (x_{0}) | = \frac{\int_{a}^{b} f (x) d x}{b - a} \cdot e^{x_{0}}$ 成立，则称x₀为函数f（x）在[a，b]上的“好点”，那么函数f（x）=x²+2x在[﹣1，1]上的“好点”的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题：

13. 如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y=x²图象下方的点构成的区域．向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为．

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14. （文）如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）= ．

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15. 已知如下等式：
2+4=6；
8+10+12=14+16；
18=20+22+24=26+28+30；
…
以此类推，则2018出现在第个等式中．

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16. 在实数集R中定义一种运算“*”，对于任意给定的a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：
⑴对任意a，b∈R，a*b=b*a；
⑵对任意a∈R，a*0=a；
⑶对任意a，b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）﹣2c．
关于函数f（x）=（e^x）* $\frac{1}{e^{x}}$ 的性质，有如下命题：
⑴f（x）为偶函数；
⑵f（x）的x=0处取极小值；
⑶f（x）的单调增区间为（﹣∞，0]；
⑷方程f（x）=4有唯一实根．
其中正确的命题的序号是．

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三、解答题：

17. 已知复数z=（2+i）m²﹣ $\frac{6 m}{1 - i} - 2 (1 - i) (m \in R)$ ．

(1)、当实数m取什么值时，复数z是纯虚数；

(2)、若z在复平面内对应的点在第二、四象限角平分线上，求|z|．

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18. 综合题。

(1)、当n≥0时，试用分析法证明： $\sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1} < \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$ ；

(2)、已知x∈R，a=x²﹣1，b=2x+2．求证：a、b中至少有一个不小于0．

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19. 已知函数f（x）=lnx﹣ax²+（2﹣a）x．

(1)、若函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；

(2)、当a=1时，g（x）=x²﹣2x+b，当 $x \in [\frac{1}{2} ， 2]$ 时，f（x）与g（x）有两个交点，求实数b的取值范围．

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20. 已知函数f_n（x）= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} (n + 1) x^{2} + x (n \in N *)$ ，数列{a_n}满足a_n₊₁=f'_n（a_n），a₁=3．

(1)、是否存在n，使得f_n（x）在x=1处取得极值，若存在，求n的值，若不存在，说明理由；

(2)、求a₂ ， a₃ ， a₄的值，请猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

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21. 已知函数f（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1（k∈R）．

(1)、求函数f（x）的单调区间；

(2)、若g（x）= $\frac{1}{3} x^{3} - l n (x + 1) + f (x + 2)$ 满足：对任意的x₁ ， x₂∈[0，1]，都有|g（x₁）﹣g（x₂）|≤1恒成立，试确定实数k的取值范围．

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 c o s φ \\ y = s i n φ \end{matrix}$ ，（ φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l₁的极坐标方程为ρsin（θ﹣ $\frac{π}{4}$ ）= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，直线l₂的极坐标方程为θ= $\frac{π}{2}$ ，l₁与l₂的交点为M．
（Ⅰ）判断点M与曲线C的位置关系；
（Ⅱ）点P为曲线C上的任意一点，求|PM|的最大值．

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