浙江省温州市龙湾区2019-2020学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2019-12-13 类型：期中考试

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一、选择题（本题有10小题，每题4分，共40分）

1. 下列各式中， $y$ 是关于 $x$ 的二次函数的是 $($ $)$

A、 $y = 2 x + 3$ B、 $y = \frac{1}{x^{2}}$ C、 $y = 3 x^{2} - 1$ D、 $y = {(x - 1)}^{2} - x^{2}$

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2. 下列说法正确的是 $($ $)$

A、25人中至少有3人的出生月份相同 B、任意抛掷一枚均匀的1元硬币，若上一次正面朝上，则下一次一定反面朝上 C、天气预报说明天降水的概率为 $10 %$ ，则明天一定是晴天 D、任意抛掷一枚均匀的骰子，掷出的点数小于3的概率是 $\frac{1}{2}$

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3. 如图所示是一个旋转对称图形，若将它绕自身中心旋转一定角度之后不能与原图重合，则这个角度可能是 $($ $)$

A、 $60 °$ B、 $90 °$ C、 $120 °$ D、 $180 °$

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4. 抛物线 $y = x^{2} - 6 x + 9$ 与坐标轴的交点个数是 $($ $)$

A、0 B、1 C、2 D、3

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5. 在一个不透明的箱子中有3张红卡和若干张绿卡，它们除了颜色外其他完全相同，通过多次抽卡试验后发现，抽到绿卡的概率稳定在 $75 %$ 附近，则箱中卡的总张数可能是 $($ $)$

A、1张 B、4张 C、9张 D、12张

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6. 现有如下4个命题：
①过两点可以作无数个圆．②三点可以确定一个圆．③任意一个三角形有且只有一个外接圆．④任意一个圆有且只有一个内接三角形．其中正确的有 $($ $)$

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴是直线 $x = - 1$ ，则下列结论正确的是 $($ $)$

A、 $a b c < 0$ B、 $2 a - b = 0$ C、 $b^{2} - 4 a c < 0$ D、 $a + b + c < 0$

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8. 同一平面内，一个点到圆的最小距离为 $6 c m$ ，最大距离为 $8 c m$ ，则该圆的半径为 $($ $)$

A、 $1 c m$ B、 $7 c m$ C、 $2 c m$ 或 $14 c m$ D、 $1 c m$ 或 $7 c m$

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9. 《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是（）

A、13寸 B、20寸 C、26寸 D、28寸

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10. 如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=10，AB⊥AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ² ，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）

11. 二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 经过 $(5, 3)$ 和 $(- 2, 3)$ ，则当 $x =$ 时，函数取到最小值．

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12. 一个口袋中放有除颜色外，形状大小都相同的黑白两种球，黑球6个，白球10个．现在往袋中放入 $m$ 个白球和4个黑球，使得摸到白球的概率为 $\frac{3}{5}$ ，则 $m =$ ．

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13. 已知 $⊙ O$ 的半径为2， $⊙ O$ 中有两条平行的弦 $A B$ 和 $C D$ ， $A B = 2$ ， $C D = 2 \sqrt{3}$ ，则两条弦之间的距离为．

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14. 在平面直角坐标系中有 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点， $A (1, 3)$ ， $B (3, 3)$ ， $C (5, 1)$ ．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为．

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15. 如图，边长为2的正方形 $A B C D$ 的顶点 $A$ 、 $B$ 在一个半径为2的圆上，顶点 $C$ 、 $D$ 在该圆内．将正方形 $A B C D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转，当点 $D$ 第一次落在圆上时，点 $C$ 旋转到 $C^{'}$ ，则 $∠ C^{'} A B =$ $°$ ．

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16. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + 4 x + c (a \neq 0)$ 与反比例函数 $y = \frac{5}{x}$ 的图象相交于点 $B$ ，且点 $B$ 的横坐标为5，抛物线与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， 6)$ ， $A$ 是抛物线的顶点， $P$ 和 $Q$ 分别是 $x$ 轴和 $y$ 轴上的两个动点，则 $A Q + Q P + P B$ 的最小值为．

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三、解答题（本题有8小题，共80分）

17. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + 4 x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，其中 $A (- 1 ， 0)$ ， $C (0 ， 5)$

(1)、求二次函数的解析式，并求出当 $x = 1$ 时的函数值．

(2)、连接 $B C$ ， $A C$ ，得到 $Δ A B C$ ，现将抛物线图象只向下平移 $m$ 个单位，使得顶点落在 $Δ A B C$ 内部（不包括边界），请写出 $m$ 的取值范围．

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18. 今年第18号台风“米娜”于10月1号上午出现在温州附近海域．如图，台风“米娜”的中心位于点 $A$ 处，周围 $200 k m$ 都会受到台风影响．现在台风正往南偏东 $60 °$ 的方向移动，在 $A$ 的正南方 $300 k m$ 出有一座小镇 $B$ ．在台风移动过程中，小镇 $B$ 是否会受到影响，判断并说明理由．

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19. 学校组织了一次迷宫探险活动．经过迷宫中的某一处路口时，我们可能继续直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．现有甲、乙两位同学先后经过这一处路口．

(1)、请用“列表法”或画“树状图法”写出两人经过该路口时的所有行走情况．

(2)、假设在路口的左边有陷阱，求出陷阱被触发的概率．

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20. 如图，已知 $Δ A B C$

(1)、用直尺和圆规作出 $⊙ O$ ，使 $⊙ O$ 经过 $A$ 、 $B$ 两点，且圆心 $O$ 在 $A C$ 边上．（不写作法，保留作图痕迹）

(2)、若 $∠ B A C = 22.5 °$ ， $∠ C = 45 °$ ， $⊙ O$ 的半径2，求 $A C$ 的长．

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21. 已知函数 $y = x^{2} + (m + 3) x + 2 m + 2$

(1)、判断该函数的图象与 $x$ 轴的交点个数．

(2)、若 $m = - 5$ ，求出函数值 $y$ 在 $0 < x < 5$ 时的取值范围．

(3)、若方程 $x^{2} - 2 x - 8 = k$ 在 $0 < x < 5$ 内有且只有一个解，直接写出 $k$ 的范围．

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22. 如图，在等腰 $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $⊙ O$ 是 $Δ A B C$ 的外接圆， $S_{Δ A B C} = 32$ ， $B C = 8$ ．

(1)、求出 $⊙ O$ 的半径 $r$ ．

(2)、求 $S_{Δ A B O}$ ．

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23. 某旅馆一共有客房30间，在国庆期间，老板通过观察记录发现，当所有房间都有旅客入住时，每间客房净赚600元，客房价格每提高50元，则会少租出去1个房间．同时没有旅客入住的房间，需要花费50元来进行卫生打理．

(1)、求出每天利润 $w$ 的最大值，并求出利润最大时，有多少间客房入住了旅客．

(2)、若老板希望每天的利润不低于19500元，且租出去的客房数量最少，求出此时每间客房的利润．

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24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 5$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，交 $x$ 轴于点 $B (- 5 ， 0)$ 和点 $C (1 ， 0)$ ，过点 $A$ 作 $A D / / x$ 轴交抛物线于点 $D$ ．

(1)、求此抛物线的表达式；

(2)、点 $E$ 是抛物线上一点，且点 $E$ 关于 $x$ 轴的对称点在直线 $A D$ 上，求 $Δ E A D$ 的面积；

(3)、若点 $P$ 是直线 $A B$ 下方的抛物线上一动点，当点 $P$ 运动到某一位置时， $Δ A B P$ 的面积最大，求出此时点 $P$ 的坐标和 $Δ A B P$ 的最大面积．

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