湖南省五市十校2019-2020学年高二上学期期中数学试题

试卷更新日期：2019-12-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ， A = {2, 3, 4, 5} ， B = {2, 3, 6, 7}$ ，则 $B \cap C_{U} A$ （）

A、 ${1, 6}$ B、 ${1, 7}$ C、 ${6, 7}$ D、 ${1, 6, 7}$

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2. 设 $x \in R$ ，则“ $0 < x < 2$ ”是“ $x^{2} - 2 x - 3 < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 在等差数列{a_n}中，a₁=2，a₃+a₅=10，则a₇=（）

A、5 B、8 C、10 D、14

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4. 已知向量 $\vec{a}$ ＝(1，0)， $\vec{b}$ ＝(-3，4)的夹角为 $θ$ ，则sin2 $θ$ 等于（）

A、 $- \frac{7}{25}$ B、 $\frac{7}{25}$ C、 $- \frac{24}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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5. 已知圆柱的高为 $2$ ，它的两个底面的圆周在半径为 $2$ 的同一个球的球面上.则球的体积与圆柱的体积的比值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{9}{16}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{16}{9}$

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6. 以下四个命题：
①“若 $x = y$ ，则 $x^{2} = y^{2}$ ”的逆否命题为真命题②“ $a = 2$ ”是“函数 $f (x) = \log_{a} x$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上为增函数”的充分不必要条件③若 $p \land q$ 为假命题，则 $p$ ， $q$ 均为假命题④对于命题 $p$ ： $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + x_{0} + 1 < 0$ ，则 $\neg p$ 为： $\forall x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 \geq 0$ 其中真命题的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7. 已知椭圆 $C$ 的中心在原点，焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 在 $x$ 轴上， $C$ 上的点到左焦点 $F_{1}$ 的距离的最大值为 $6$ ，过 $F_{1}$ 的直线交 $C$ 于 $A$ , $B$ 两点，且 $Δ A B F_{2}$ 的周长为 $16$ ，则椭圆 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$

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8. 已知变量 $x$ 、 $y$ 之间的线性回归方程为 $y = - 0.7 x + 10.3$ ，且变量 $x$ 、 $y$ 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是（）

$x$

$6$

$8$

$10$

$12$

$y$

$6$

$m$

$3$

$2$

A、可以预测，当 $x = 20$ 时， $y = - 3.7$ B、 $m = 4$ C、变量 $x$ 、 $y$ 之间呈负相关关系 D、该回归直线必过点 $(9 ， 4)$

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9. 若命题“ $\exists x_{0} \in R$ ， $a x_{0}^{2} + 2 x_{0} + 1 < 0$ ”是真命题，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1]$ B、 $(- \infty ， 1)$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 1]$

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10. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设A（﹣3，0），B（3，0），动点M满足 $\frac{｜ MA ｜}{｜ MB ｜}$ ＝2，则动点M的轨迹方程为（）

A、（x﹣5）²+y²＝16 B、x²+（y﹣5）²＝9 C、（x+5）²+y²＝16 D、x²+（y+5）²＝9

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11. 如图， $A D$ 是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔 $B D$ ，若某科研小组在坝底 $A$ 点测得 $∠ B A D = 15^{\circ}$ ，沿着坡面前进40米到达 $E$ 点，测得 $∠ B E D = 45^{\circ}$ ，则大坝的坡角（ $∠ D A C$ ）的余弦值为（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\sqrt{2} - 1$ D、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$

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12. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，以 $F_{2}$ 为圆心的圆过椭圆 $C$ 的中心，且与 $C$ 在第一象限交于点 $P$ ，若直线 $P F_{1}$ 恰好与圆 $F_{2}$ 相切于点 $P$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x}, x > 1 \\ x^{2} + 1, x \leq 1 \end{array}$ ，则 $f (2) - f (1) =$ .

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14. 已知 $\tan α$ ， $\tan β$ 是方程 $2 x^{2} + 3 x - 5 = 0$ 的两个实数根，则 $\tan (α + β) =$ .

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15. 已知 $a, b \in R$ ，且 $a - 3 b + 6 = 0$ ，则 $2^{a} + \frac{1}{8^{b}}$ 的最小值为.

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $\forall m$ ， $n \in N^{*}$ ， $a_{m} + a_{n} = a_{m + n}$ ，且 $a_{15} = \frac{π}{2}$ ，函数 $f (x) = \sin 2 x + 6 \cos^{2} \frac{x}{2}$ ，记 $b_{n} = f (a_{n})$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前 $29$ 项和为.

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三、解答题

17. 已知 ${a_{n}}$ 是各项均为正数的等比数列， $a_{1} = 2$ ， $a_{3} = 2 a_{2} + 16$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n} \cdot b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 2018年，教育部发文确定新高考改革正式启动，湖南、广东、湖北等8省市开始实行新高考制度，从2018年下学期的高一年级学生开始实行.为了适应新高考改革，某校组织了一次新高考质量测评，在成绩统计分析中，高二某班的数学成绩的茎叶图和频率分布直方图因故都受到不同程度的损坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：

(1)、求该班数学成绩在 $[50 ， 60)$ 的频率及全班人数；

(2)、根据频率分布直方图估计该班这次测评的数学平均分；

(3)、若规定 $90$ 分及其以上为优秀，现从该班分数在 $80$ 分及其以上的试卷中任取 $2$ 份分析学生得分情况，求在抽取的 $2$ 份试卷中至少有 $1$ 份优秀的概率.

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19. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asin B＝－bsin $(A + \frac{π}{3})$ .

(1)、求A；

(2)、若△ABC的面积S＝ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ c² ，求sin C的值．

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20. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C C_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $D$ 、 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 分别为 $A A_{1}$ ， $A C$ 、 $A_{1} C_{1}$ 、 $B B_{1}$ ，的中点，且， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $A A_{1} = \sqrt{15}$ .

(1)、证明： $A F ∥$ 平面 $B E C_{1}$ ；

(2)、证明： $A C ⊥ F G$ ；

(3)、求直线 $B D$ 与平面 $B E C_{1}$ 所成角的正弦值.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} - 2 a_{n} + 2 = 0$ ，函数 $f (x)$ 对任意的 $x \in R$ 都有 $f (x) + f (1 - x) = 1$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = f (0) + f (\frac{1}{n}) + f (\frac{2}{n}) +$ … $f (\frac{n - 1}{n}) + f (1)$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ， $T_{n}$ 是数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和，是否存在正实数 $k$ ，对于任意 $n \in N^{*}$ ，不等式 $k (n^{2} - 9 n + 26) T_{n} > 4 n c_{n}$ ，恒成立？若存在，请求出 $k$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

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22. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左，右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，长轴长为 $4$ ，且经过点 $P (1, \frac{3}{2})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $M$ 为椭圆 $C$ 上异于 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 的任意一点，证明：直线 $M A_{1}$ ， $M A_{2}$ 的斜率的乘积为定值；

(3)、已知两条互相垂直的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 都经过椭圆 $C$ 的右焦点 $F$ ，与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 和 $M$ ， $N$ 四点，求四边形 $A M B N$ 面积的取值范围.

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$x$	$6$	$8$	$10$	$12$
$y$	$6$	$m$	$3$	$2$