山西省大同市2019-2020学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2019-12-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）

A、x²+2y=1 B、 $\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x}$ ﹣2=0 C、ax²+bx+c=0 D、x²+2x=1

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2. 在艺术字中，有些字母是中心对称图形，下面的5个字母中，是中心对称图形的有（　　）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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3. $A (- 2 ， y_{1})$ ， $B (1 ， y_{2})$ ， $C (2 ， y_{3})$ 是抛物线 $y = - {(x + 1)}^{2} + 3$ 上的三点，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系为（　　）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ C、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ D、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$

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4. 抛物线 $y = {(x - 2)}^{2} + 2$ 的顶点坐标为（）

A、(-2， 2) B、(2， -2) C、(2， 2) D、(-2， -2)

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5. 将抛物线 $y = x^{2} + 1$ 向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（　　）

A、 $y = {(x + 2)}^{2} - 3$ B、 $y = {(x + 2)}^{2} - 2$ C、 $y = {(x - 2)}^{2} - 3$ ﹣3 D、 $y = {(x - 2)}^{2} - 2$

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6. 刚刚过去的2018年国庆黄金周，越来越多的外地游客选择来大同游古城、赏美景、品美食、观民俗．小明从大同市旅游局获悉，国庆长假期间，我市共接待海内外游客约900万人次，若每年增长率不变，预计2020年国庆黄金周我市可接待海内外游客约1600万人次．问：年增长率约为（　　）

A、 $13 %$ B、 $23 %$ C、 $33 %$ D、 $43 %$

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7. 根据下列表格的对应值，判断方程ax²+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（）
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax²+bx+c
﹣0.06
﹣0.02
0.03
0.09

A、3＜x＜3.23 B、3.23＜x＜3.24 C、3.24＜x＜3.25 D、3.25＜x＜3.26

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8. 如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（）

A、40° B、30° C、38° D、15°

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9. 如图，四边 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，若 $∠ B O D ＝ 100 °$ ，则 $∠ D A B$ 的度数为（　　）

A、 $50 °$ B、 $80 °$ C、 $100 °$ D、 $130 °$

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10. 已知二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax²+bx+c﹣m＝0有两个不相等的实数根，下列结论：①b²﹣4ac＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④m＞﹣2，其中，正确的个数有（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

11. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 3 x + a + 1 = 0$ 的一个根为0，则 $a =$ ．

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12. 在平面直角坐标系内，若点 $A (m ， 3)$ 和点 $B (- 1, n)$ 关于原点对称，则 $m + n$ 的值为．

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13. 在二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：

x	…	﹣2	﹣1	1	2	3	…
y	…	8	3	﹣1	0	3	…

则利用二次函数的图象性质，可知该二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象的对称轴是．

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14. 如图①是一座石拱桥，它是一个横断面为抛物线形状的拱桥，若桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，图②为它在坐标系中的示意图，则抛物线的解析式是（写出顶点式和一般式均可）．

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15. 如图，点P是等腰Rt△ABC外一点，把线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BP'，已知∠AP'B＝135°，P'A：P'C＝1：3，则P'A：PB＝．

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三、解答题

16. 计算：

(1)、解方程 ${(x - 3)}^{2} - 9 = 0$

(2)、解方程 $x^{2} - 2 x = 2 x + 1$

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17. △ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．

(1)、作△ABC关于点C成中心对称的△A₁B₁C₁ ．

(2)、将△A₁B₁C₁向右平移4个单位，作出平移后的△A₂B₂C₂ ．

(3)、在x轴上求作一点P，使PA₁+PC₂的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）

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18. 已知关于x的方程x²+mx+m-2=0.

(1)、若此方程的一个根为1,求m的值；

(2)、求证：不论m取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.

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19. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为 $12 m$ 的住房墙，另外三边用 $26 m$ 长的建筑材料围成，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为 $80 m^{2}$ ？

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20. 已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D$ 与 $A B$ 相交， $D$ 为 $\hat{A B}$ 的中点．

(1)、求 $∠ A B D$ 的大小；

(2)、若 $A C = 6$ ， $B D = 5 \sqrt{2}$ ，求 $B C$ 的长．

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21. 2018年是我市脱贫攻坚决战决胜的关键之年，阳高灵丘、云州三县区要在今年实现脱贫摘帽．近年来，享有“中国黄花之乡的云州区坚持把产业扶贫作为扶贫攻坚的重要支撑，黄花销售也成为区政府关注的一项民生工程．现有成本为每千克80元的大同特级黄花菜干货，经市场分析，若按每千克100元销售，一个月能售出800千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对黄花菜的销售情况，请解答以下问题．

(1)、现计划在月销售成本不超过40000元的情况下，使得月销售利润达到24000元，销售单价应定为多少元？

(2)、定价为多少元时，农民销售可获得最大利润？

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22. 在 $Δ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $C D$ 是 $A B$ 边上的高．
问题发现：

(1)、如图1，

若 $∠ A C B ＝ 90 °$ ，点 $E$ 是线段 $A B$ 上一个动点（点 $E$ 不与点 $A$ ， $B$ 重合）连接 $C E$ ，将线段 $C E$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到线段 $C F$ ，连接 $B F$ ，我们会发现 $C D$ 、 $B E$ 、 $B F$ 之间的数量关系是 $C D = \frac{1}{2} (B E + B F)$ ，请你证明这个结论；
提出猜想：

(2)、如图2

若 $∠ A C B ＝ 60 °$ ，点 $E$ 是线段 $A B$ 上一个动点（点 $E$ 不与点 $A$ ， $B$ 重合）连接 $C E$ ，将线段 $C E$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $60 °$ ，得到线段 $C F$ ，连接 $B F$ ，猜想线段 $C D$ 、 $B E$ 、 $B F$ 之间的数量关系是；

拓广探索：

(3)、若 $∠ A C B = α$ ， $C D = k \cdot A B$ （ $k$ 为常数），点 $E$ 是线段 $A B$ 上一个动点（点 $E$ 不与点 $A$ ， $B$ 重合），连接 $C E$ ，将线段 $C E$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $α$ ，得到线段 $C F$ ，连接 $B F$ ．请你利用上述条件，根据前面的解答过程得出类似的猜想，并在图3中画出图形，标明字母，不必解答．

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23. 如图1，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1 ， 0)$ 、 $B (3 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为点 $M$ ．

(1)、求这条抛物线的解析式及直线 $B M$ 的解析式；

(2)、 $P$ 段 $B M$ 上一动点（点 $P$ 不与点 $B$ 、 $M$ 重合），过点 $P$ 向 $x$ 轴引垂线，垂足为 $Q$ ，设 $O Q$ 的长为 $t$ ，四边形 $P Q A C$ 的面积为 $S$ ．求 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式及自变量 $t$ 的取值范围；

(3)、在线段 $B M$ 上是否存在点 $N$ ，使 $Δ N M C$ 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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x	3.23	3.24	3.25	3.26
ax²+bx+c	﹣0.06	﹣0.02	0.03	0.09