福建省泉州市晋江区安海片区2019-2020学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2019-12-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）.

A、平移变换 B、相似变换 C、旋转变换 D、对称变换

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2. 用配方法解方程 $x^{2} - 6 x - 8 = 0$ 时，配方结果正确的是（）

A、 ${(x - 3)}^{2} = 17$ B、 ${(x - 3)}^{2} = 14$ C、 ${(x - 6)}^{2} = 44$ D、 ${(x - 3)}^{2} = 1$

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3. 估计（2 $\sqrt{3}$ +6 $\sqrt{2}$ ）× $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 的值应在（）

A、4和5之间 B、5和6之间 C、6和7之间 D、7和8之间

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4. 满足下列条件时， $△ A B C$ 不是直角三角形的为（）．

A、 $A B = \sqrt{41}, B C = 4, A C = 5$ B、 $A B : B C : A C = 3 : 4 : 5$ C、 $∠ A : ∠ B : ∠ C = 3 : 4 : 5$ D、 $| cos A - \frac{1}{2} | + {(tan B - \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} = 0$

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5. 若关于x的方程kx²﹣x﹣ $\frac{3}{4}$ ＝0有实数根，则实数k的取值范围是（）

A、k＝0 B、k≥﹣ $\frac{1}{3}$ 且k≠0 C、k≥﹣ $\frac{1}{3}$ D、k＞﹣ $\frac{1}{3}$

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6. 如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡的坡度为（）

A、 $\frac{5}{12}$ B、 $\frac{12}{13}$ C、 $\frac{5}{13}$ D、 $\frac{13}{12}$

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7. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 在小正方形的顶点上，则 $Δ A B C$ 的重心是（）

A、点 $D$ B、点 $E$ C、点 $F$ D、点 $G$

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8. 如图，在反比例函数 $y = \frac{3}{2 x}$ 的图象上有一动点A ，连接并AO延长交图象的另一支于点B ，在第二象限内有一点C ，满足AC＝BC ，当点A运动时，点C始终在函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上运动，若 $\tan ∠ C A B = 2$ ，则k的值为

A、－3 B、－6 C、－9 D、－12

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9. 如图，菱形 $A B C D$ 和菱形 $E C G F$ 的边长分别为4和6， $∠ A = 120 °$ ，则阴影部分的面积是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $5 \sqrt{3}$

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10. 如图，在 $Rt Δ A B C$ 中， $∠ C = 90^{°}$ ， $A B = 5$ ， $B C = 4$ .点P是边AC上一动点，过点P作 $P Q ∥ A B$ 交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分 $∠ A B C$ 时，AP的长度为（）

A、 $\frac{8}{13}$ B、 $\frac{15}{13}$ C、 $\frac{25}{13}$ D、 $\frac{32}{13}$

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二、填空题

11. 分式 $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ 有意义时，x的取值范围是．

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12. 化简 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ ＝．

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13. 已知x₁ ， x₂是方程x²﹣x﹣3＝0的两根，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ ＝．

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14. 三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是.

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15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝ $\sqrt{5}$ ，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得C落到矩形内点F的位置，连接AF，若 $t a n ∠ B A F$ ＝ $\frac{1}{2}$ ，则CE＝．

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16. 如图，由10个完全相同的正三角形构成的网格图中， $∠ α 、 ∠ β$ 如图所示，则 $\cos (α + β)$ =.

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三、解答题

17. 计算

(1)、计算： $(2 \sqrt{5} + 5 \sqrt{2}) (5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5}) - {(\sqrt{5} - \sqrt{2})}^{2}$

(2)、解方程： $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ .

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18. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (k + 3) x + 2 k + 2 = 0$ .

(1)、求证：方程总有两个实数根；

(2)、若方程有一根小于1，求 $k$ 的取值范围.

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19. 请先阅读这段内容.再解答问题
三角函数中常用公式 $\sin (α + β) = \sin α \cdot \cos β + \cos α \cdot \sin β$ .求 $\sin 75 °$ 的值，

即 $\sin 75 ° = \sin (30 ° + 45 °) = \sin 30 ° \cdot \cos 45 ° + \cos 30 ° \cdot \sin 45 ° = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

试用公式 $\cos (α + β) = \cos α \cdot \sin β - \sin α \cdot \cos β$ ，求出 $\cos 75 °$ 的值.

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20. 如图，△ABC中，∠ACB＞∠ABC ．

(1)、用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM ，使∠ACM=∠ABC（不要求写作法，保留作图痕迹）；

(2)、若（1）中的射线CM交AB于点D ， AB=9，AC=6，求AD的长．

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21. 江苏是全国首个自然村“村村通宽带”省份．我市某村为了将当地农产品外销，建立了淘宝网店．该网店于今年7月底以每袋25元的成本价收购一批农产品．当商品售价为每袋40元时，8月份销售256袋.9、10月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，10月份的销售量达到400袋．设9、10这两个月月平均增长率不变．

(1)、求9、10这两个月的月平均增长率；

(2)、为迎接双“十一”，11月份起，该网店采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该农产品每降价1元/每袋，销售量就增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，该淘宝网店11月份获利4250元？

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22. 如图，池塘边一棵垂直于水面BM的笔直大树AB在点C处折断，AC部分倒下，点A与水面上的点E重合，部分沉入水中后，点A与水中的点F重合，CF交水面于点D，DF＝2m，∠CEB＝30°，∠CDB＝45°，求CB部分的高度.（精确到0.1m.参考数据： $\sqrt{2}$ ≈1.41， $\sqrt{3}$ ≈1.73）

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23. 在平面直角坐标系中，已知 $O A = 12 cm$ ， $O B = 6 cm$ ，点 $P$ 从点 $O$ 开始沿 $O A$ 边向点 $A$ 以 $2 cm/s$ 的速度移动；点 $Q$ 从点 $B$ 开始沿 $B O$ 边向点 $O$ 以 $1 cm/s$ 的速度移动.如果 $P$ 、 $Q$ 同时出发，用 $t (s)$ 表示移动的时间 $(0 \leq t \leq 6)$ ，

(1)、用含 $t$ 的代数式表示：线段 $P O =$ ； $O Q =$ ； $S_{Δ P O Q} =$ .

(2)、当 $Δ P O Q$ 与 $Δ A O B$ 相似时，求出 $t$ 的值.

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24. 如图，正方形 $A B C D$ 、等腰 $R t Δ B P Q$ 的顶点 $P$ 在对角线 $A C$ 上(点 $P$ 与 $A$ 、 $C$ 不重合)， $Q P$ 与 $B C$ 交于 $E$ ， $Q P$ 延长线与 $A D$ 交于点 $F$ ，连接 $C Q$ .

(1)、求证： $A P = C Q$ .

(2)、求证： $P A^{2} = A F \cdot A D$

(3)、若 $A P ： P C = 1 ： 3$ ，求 $\tan ∠ C B Q$ 的值.

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25. 已知：如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 10 cm$ ， $B C = 8 cm$ ， $O D$ 垂直平分 $A$ $C$ .点 $P$ 从点 $B$ 出发，沿 $B A$ 方向匀速运动，速度为 $1 cm/s$ ；同时，点 $Q$ 从点 $D$ 出发，沿 $D C$ 方向匀速运动，速度为 $1 cm/s$ ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点 $P$ 作 $P E ⊥ A B$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ，过点 $O$ 作 $Q F // A C$ ，分别交 $A D$ ， $O D$ 于点 $F$ ， $G$ .连接 $O P$ ， $E G$ .设运动时间为 $t (s)$ $(0 < t < 5)$ ，解答下列问题：

(1)、当 $t$ 为何值时，点 $E$ 在 $∠ B A C$ 的平分线上？

(2)、设四边形 $P E G O$ 的面积为 $S (c m^{2})$ ，求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式.

(3)、连接 $O E$ ， $O Q$ ，在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$ ，使 $O E ⊥ O Q$ ？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由.

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