2016-2017学年江苏省徐州市高二下学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-07-24 类型：期中考试

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一、填空题

1. 复数 $\frac{2 - i}{1 + 2 i}$ = ．

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2. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，结论的否定是．

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3. 从1到10的正整数中，任意抽取两个相加，所得和为奇数的不同情形有
种．

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4. 由①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的依次为（写序号）．

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5. 设z为纯虚数，且|z﹣1|=|﹣1+i|，则z= ．

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6. 观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为．

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7. 若（2x+ $\sqrt{3}$ ）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴ ，则（a₀+a₂+a₄）²﹣（a₁+a₃）²的值为．

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8. 现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为 $\frac{a^{2}}{4}$ ．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为．

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9. 用数学归纳法证明不等式1+ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$ +…+ $\frac{1}{2^{n - 1}}$ ＞ $\frac{127}{64}$ 成立，起始值应取为n= ．

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10. 用数学归纳法说明：1+ $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2^{n} - 1} < n (n > 1)$ ，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是项．

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11. 某班某天要安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术6节课，要求数学课排在前3节，体育课不排在第1节，则不同的排法种数为．（以数字作答）．

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12. 已知复数z满足等式|z﹣1|=|z+2i|（i是虚数单位），则|z﹣1﹣i|的最小值是．

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13. 如图．小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半．如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，向量 $\vec{O A}$ 围绕着点O旋转了θ角，其中O为小正六边形的中心，则sin $\frac{θ}{6}$ +cos $\frac{θ}{6}$ = ．

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14. 我们在学习立体几何推导球的体积公式时，用到了祖暅原理：即两个等高的几何体，被等高的截面所截，若所截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．类比此方法：求双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0），与x轴，直线y=h（h＞0）及渐近线y= $\frac{b}{a}$ x所围成的阴影部分（如图）绕y轴旋转一周所得的几何体的体积．

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二、解答题

15. 设复数z=a+bi（a，b∈R，a＞0，i是虚数单位），且复数z满足|z|= $\sqrt{10}$ ，复数（1+2i）z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．

(1)、求复数z；

(2)、若 $\bar{z}$ + $\frac{m - i}{1 + i}$ 为纯虚数（其中m∈R），求实数m的值．

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16. 阅读材料：根据两角和与差的正弦公式，有：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
由①+②得sin（α+β）+sin（α﹣β）=2sinαcosβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣③
令α+β=A，α﹣β=β　有α= $\frac{A + B}{2}$ ，β= $\frac{A - B}{2}$ 代入③得　sinA+sinB=2sin $\frac{A + B}{2}$ cos $\frac{A - B}{2}$ ．

(1)、利用上述结论，试求sin15°+sin75°的值；

(2)、类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA﹣cosB=﹣2sin $\frac{A + B}{2}$ cos $\frac{A - B}{2}$ ．

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17. 已知 ${(x^{2} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中第3项的系数与第5项的系数之比为 $\frac{3}{14}$ ．

(1)、求n的值；

(2)、求展开式中的常数项．

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18. 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？

(1)、男运动员3名，女运动员2名；

(2)、至少有1名女运动员；

(3)、队长中至少有1人参加；

(4)、既要有队长，又要有女运动员．

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19. 综合题。

(1)、找出一个等比数列{a_n}，使得1， $\sqrt{2}$ ，4为其中的三项，并指出分别是{a_n}的第几项；

(2)、证明： $\sqrt{2}$ 为无理数；

(3)、证明：1， $\sqrt{2}$ ，4不可能为同一等差数列中的三项．

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20. 已知函数f（x）=alnx﹣x+ $\frac{1}{x}$ ，g（x）=x²+x﹣b，y=f（x）的图象恒过定点P，且P点既在y=g（x）的图象上，又在y=f（x）的导函数的图象上．

(1)、求a，b的值；

(2)、设h（x）= $\frac{f (x)}{g (x)}$ ，当x＞0且x≠1时，判断h（x）的符号，并说明理由；

(3)、求证：1+ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ +…+ $\frac{1}{n}$ ＞lnn+ $\frac{n + 1}{2 n}$ （n≥2且n∈N*）．

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