2017年重庆市普通高等学校高考数学预测卷（理科）（4）

试卷更新日期：2017-07-24 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知复数z₁=1+3i，z₂=3+i（i为虚数单位）．在复平面内，z₁﹣z₂对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合A={y|y= $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ }，B={x|y=ln（x+1）}，则A∩B=（）

A、（﹣1，1） B、（﹣1，1] C、（﹣ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ） D、（﹣ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ]

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3. 已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=3，若 $\vec{C D}$ =m $\vec{B A}$ +n $\vec{B C}$ （m，n∈R），则 $\frac{m}{n}$ =（）

A、﹣3 B、﹣ $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、3

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4. 圆心在y轴上，半径为2，且过点（2，4）的圆的方程为（）

A、x²+（y﹣1）²=4 B、x²+（y﹣2）²=4 C、x²+（y﹣3）²=4 D、x²+（y﹣4）²=4

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5. 某市有6条南北向街道，4条东西向街道，图中共有m个矩形，从A点走到B点最短路线的走法有n种，则m，n的值分别为（）

A、m=90，n=56 B、m=30，n=56 C、m=90，n=792 D、m=30，n=792

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6. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2 $\sqrt{3}$

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7. 若O为△ABC的内心，且满足（ $\vec{O B}$ ﹣ $\vec{O C}$ ）•（ $\vec{O B}$ + $\vec{O C}$ ﹣2 $\vec{O A}$ ）=0，则△ABC的形状为（）

A、等腰三角形 B、正三角形 C、直角三角形 D、以上都不对

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8. 执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、﹣ $\sqrt{3}$ C、1 D、0

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9. 如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=﹣ $\frac{π}{8}$ 对称，那么a等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、 $- \sqrt{2}$ D、﹣1

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10. 在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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11. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的半焦距为C，直线L过（a，0），（0，b）两点，已知原点到直线L的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{4} C$ ，则双曲线的离心率为（）

A、2 B、2或 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{2}{3} \sqrt{3}$

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12. 函数f（x）是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=x﹣1，则不等式xf（x）＞0在[﹣1，3]上的解集为
（）

A、（1，3） B、（﹣1，1） C、（﹣1，0）∪（1，3） D、（﹣1，0）∪（0，1）

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二、填空题

13. 已知sinθ+cosθ= $\frac{1}{5}$ ，θ∈（0，π），则 $\frac{c o s^{2} θ + 2 s i n^{2} θ}{3 c o s^{2} θ - 4 s i n^{2} θ}$ 的值是．

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14. 命题：⑴三角形、梯形一定是平面图形；
⑵若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；
⑶三条平行线最多可确定三个平面；
⑷平面α和β相交，它们只有有限个公共点；
⑸若A，B，C，D四个点既在平面α内，又在平面β内，则这两平面重合．
其中正确命题的序号是．

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15. 已知x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x \geq 1 \\ y \geq - 1 \\ 4 x + y \leq 9 \\ x + y \leq 3 \end{matrix}$ ，若目标函数z=mx+y（m＞0）的最大值为1，则m的值是．

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16. 已知函数f（x）= $\frac{1}{3}$ x³﹣ $\frac{a}{2}$ x²+2x+1，且f（x）在区间（﹣2，﹣1）内存在单调递减区间，则实数a的取值范围．

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三、解答题

17. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，且对任意正整数n，都有a_n是n与S_n的等差中项．

(1)、求证：a_n=2a_n_﹣₁+1（n≥2）；

(2)、求证：数列{a_n+1}为等比数列；

(3)、求数列{a_n}的前n项和S_n ．

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18. 某高中学校为了了解在校学生的身体健康状况，从全校学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如图：
根据学生体质健康标准，成绩不低于76的为为优良

(1)、将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；

(2)、从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．

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19. 如图所示，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，△ABE为等边三角形，且平面ABCD⊥平面ABE，AB=2CD=2BC=2，P为CE中点．

(1)、求证：AB⊥DE；

(2)、求平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值．

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20. 设点F（0， $\frac{1}{2}$ ），动圆P经过点F且和直线y=﹣ $\frac{1}{2}$ 相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线E．

(1)、求曲线E的方程；

(2)、过点F（0， $\frac{1}{2}$ ）的直线l与曲线E交于P、Q两点，设N（0，a）（a＜0）， $\vec{N P}$ 与 $\vec{N Q}$ 的夹角为θ，若θ≤ $\frac{π}{2}$ ，求实数a的取值范围．

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21. 已知函数φ（x）= $\frac{a}{x + 1}$ ，a为常数．

(1)、若f（x）=lnx+φ（x），且a= $\frac{9}{2}$ ，求函数f（x）的单调区间；

(2)、若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x₁ ， x₂∈[1，2]，x₁≠x₂ ，都有 $\frac{g (x_{2}) - g (x_{1})}{x_{2} - x_{1}}$ ＜﹣1，求a的取值范围．

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22. 直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \sqrt{3} c o s θ \\ y = s i n θ \end{matrix}$ （θ为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρsin（θ+ $\frac{π}{4}$ ）=2 $\sqrt{2}$ ．

(1)、写出C₁的普通方程和C₂的直角坐标方程；

(2)、设点P在C₁上，点Q在C₂上，求|PQ|的最小值．

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23. 已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|．

(1)、当a=﹣3时，求不等式 f（x）≥3的解集；

(2)、若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求实数a的取值范围．

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