河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期文数期中考试试卷

试卷更新日期：2019-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z$ 满足 $i z = 1 + 2 i$ ，则 $z$ 等于（）

A、 $2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $1 + 2 i$ D、 $1 - 2 i$

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2. 已知集合 $A = {x | \log_{3} (x - 2) \leq 2}$ ， $B = {x | x^{2} > 9}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- \infty ， - 3) \cup (2 ， + \infty)$ B、 $(3 ， 11]$ C、 $(2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 3) \cup (2 ， 3)$

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3. 已知实数 $x$ 、 $y$ 满足 ${\begin{array}{l} y - x \leq 1 \\ x + y \leq 3 \\ 4 y \geq 1 \end{array}$ ，则 $x + 3 y$ 的最大值为（）

A、 $7$ B、 $4$ C、 $3$ D、 $0$

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4. 执行如图的程序框图，则输出的结果是（）

A、 $\frac{1}{132}$ B、 $\frac{8}{33}$ C、 $\frac{11}{12}$ D、 $\frac{1}{4}$

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5. 已知单位向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} - \vec{b} | = | \vec{a} + 2 \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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6. 已知 $a = \frac{3}{5}$ ， $b = \log_{0 ． 2} 0.1$ ， $c = \log_{3} 2$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系是（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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7. 已知点 $P$ 是圆 $C ： {(x - 3 - \cos θ)}^{2} + {(y - \sin θ)}^{2} = 1$ 上任意一点，则点 $P$ 到直线 $x + y = 1$ 距离的最大值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $\sqrt{2} + 2$

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8. 在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 、 $Q$ 、 $R$ 分别为棱 $A A_{1}$ 、 $B C$ 、 $C_{1} D_{1}$ 的中点，经过 $P$ 、 $Q$ 、 $R$ 三点的平面为 $α$ ，平面 $α$ 被此正方体所截得截面图形的周长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $6 \sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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9. 已知 $p ：$ 函数 $y = \ln (x^{2} - a x + 1)$ 的定义域为 $R$ ， $q ： e^{x} > a x$ 对任意实数 $x$ 恒成立，若 $p \land q$ 真，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， 2)$ B、 $[2 ， e)$ C、 $(- 2 ， e)$ D、 $[0 ， e)$

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10. 双曲线 $C$ 的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，虚轴的一个端点为 $A$ ，若 $Δ A F_{1} F_{2}$ 是顶角为 $120^{\circ}$ 的等腰三角形，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = S_{9 - n}$ （ $n \in N^{*}$ 且 $n < 9$ ），有以下结论：① $S_{9} = 0$ ；② $a_{5} = 0$ ；③ ${a_{n}}$ 为递增数列；④ $a_{9} = 0$ ．则正确的结论的个数为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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12. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的侧棱长相等，底面正三角形 $A B C$ 的边长为 $\sqrt{2}$ ， $P A ⊥$ 平面 $P B C$ 时，三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2} π$ C、 $π$ D、 $3 π$

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二、填空题

13. 已知 $\tan (x + \frac{π}{4}) = 2$ ，则 $\tan (x - \frac{π}{4}) =$ ．

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14. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ， $f (x) = x^{2} + 2 x f^{'} (2)$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集为．

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15. 已知函数 $f (x) = \sin x + 2 \cos x$ 在 $x_{0}$ 处取得最小值，则 $f (x)$ 的最小值为，此时 $\cos x_{0} =$ ．

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16. 若命题“ $\exists x_{0} \in [0 ， e]$ ，使得 $x_{0}^{2} e^{a x_{0} - 1} > 1$ 成立．”为假命题，则实数 $a$ 的最大值为．

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三、解答题

17. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $Δ P A C$ 为正三角形， $M$ 为棱 $P A$ 的中点， $A B ⊥ A C$ ， $A C = \frac{1}{2} B C$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $P A C$ ．

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $A C = 2$ ，求三棱锥 $P - B M C$ 的体积．

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18. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2^{n} － 1$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 2$ ， $b_{n + 1} - 2 b_{n} = 8 a_{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 在 $Δ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 中点， $A B = 3$ ， $A C = \sqrt{13}$ ， $A D = \sqrt{7}$ ．

(1)、求边 $B C$ 的长；

(2)、求 $Δ A B C$ 的面积．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (1 ， 0)$ ，点 $P (1 ， \frac{3}{2})$ 在椭圆 $C$ 上．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 的切线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $M$ 、 $N$ 两点，证明： $∠ M O N$ 为钝角．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \cos x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求证： $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2} ， + \infty)$ 上仅有 $2$ 个零点．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = 1 - \sqrt{3} t \end{array}$ （ $t$ 为参数）．以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} - 2 ρ \cos θ - 3 = 0$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的直角坐标方程和直线 $l$ 的普通方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，设 $M (1 ， 1)$ ，求 $\frac{1}{| M A |} ＋ \frac{1}{| M B |}$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 3 | - 2 | x |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \geq 2$ 的解集；

(2)、若 $f (x)$ 的最大值为 $m$ ， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为正数且 $a + b + c = m$ ，求证： $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 3$ ．

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