河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2019-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $i$ 为虚数单位，复数z满足 $i z = 1 + 2 i$ ，则 $| z |$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\sqrt{5}$ C、1 D、3

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2. 已知集合 $A = {x | \log_{3} (x - 2) \leq 2}$ ， $B = {x | 2 x - m > 0}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $（ - \infty ， 4]$ B、 $（ - \infty ， 4 ）$ C、 $（ - \infty ， 22 ）$ D、 $（ - \infty ， 22]$

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3. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} y - x \leq 1 ， \\ x + y \leq 3 ， \\ 4 y \geq 1 ． \end{array}$ 则 $x + 3 y$ 的最大值为（）

A、0 B、3 C、4 D、7

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4. 执行如图所示的程序框图，若输出的 $S = \frac{1}{4}$ ，则输入的 $n$ 值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 已知 $a = \frac{3}{5}$ ， $b = \log_{0 ． 2} 0 ． 1$ ， $c = \log_{3} 2$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $a < c < b$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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6. 在棱长为2的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，点P，Q，R分别为棱AA₁ ， BC，C₁D₁的中点，经过P，Q，R三点的平面为 $α$ ，平面 $α$ 被此正方体所截得截面图形的面积为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $6 \sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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7. 已知偶函数 $f (x)$ 的图象关于 $(1, 0)$ 对称，且当 $x \in （ 0 ， 1 ）$ 时， $f (x) = x^{2}$ ，则 $x \in （ 9 ， 10 ）$ 时， $f (x)$ ＝（）

A、 $x^{2}$ B、 $- x^{2}$ C、 $（ x - 8 ）^{2}$ D、 $- {(10 - x)}^{2}$

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8. 已知 $p ：$ 函数 $y = \ln (x^{2} - a x + 1)$ 的定义域为 $R$ ， $q ： e^{x} > a x$ 对任意实数 $x$ 恒成立，若 $p \land q$ 真，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， 2)$ B、 $[2 ， e)$ C、 $(- 2 ， e)$ D、 $[0 ， e)$

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9. 双曲线C的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F₁ ， F₂ ，虚轴的一个端点为A，若△AF₁F₂是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线C的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{2} x$ B、 $y = \pm \sqrt{2} x$ 或 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{6}}{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{6}}{2} x$ 或 $y = \pm \frac{\sqrt{6}}{3} x$

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10. 已知函数 $f (x) ＝ {\begin{array}{l} - x^{2} + x ， x \in (0 ， 1] ， \\ \lg x ， x \in (1 ， + \infty) ， \end{array}$ 若 $f (x) = a$ 有三个不等实数根 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的取值范围是（）

A、（2，＋∞） B、[2，＋∞） C、（ $2$ ， $1 + \sqrt[4]{10}$ ） D、[ $2$ ， $1 + \sqrt[4]{10}$ ]

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11. 已知数列{ $a_{n}$ }满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{n + 2} = (1 + \cos^{2} \frac{n π}{2}) a_{n} + \sin^{2} \frac{n π}{2}$ ， $n \in N^{*}$ 则 $a_{2019}$ · $\log_{2} a_{2020}$ 的值为（）

A、0 B、1 C、1010² D、1010¹⁰¹⁰

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12. 菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，沿对角线AC将三角形ACD折起，当三棱锥D－ABC体积最大时，其外接球表面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{3} π$ B、 $\frac{2 \sqrt{15}}{3} π$ C、 $\frac{20}{9} π$ D、 $\frac{20}{3} π$

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二、填空题

13. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $| \vec{a} - 2 \vec{b} | = 2$ ，则 $| \vec{a} |$ ＝．

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14. 已知数列{ $a_{n}$ }的通项公式为 $a_{n} ＝ \frac{6 n － 31}{3 n － 17}$ ，若 $a_{i}$ ， $a_{j}$ 分别是该数列的最大项和最小项，则i＋j＝．

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15. 已知函数 $f (x) = \sin x + 2 \cos x$ 在 $x_{0}$ 处取得最小值，则 $f (x)$ 的最小值为，此时 $\cos x_{0} =$ ．

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16. 已知点P是曲线 $x = \frac{1}{4} y^{2}$ 上任意一点，过点P向y轴引垂线，垂足为H，点Q是曲线 $y = e^{x}$ 上任意一点，则｜PH｜＋｜PQ｜的最小值为．

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三、解答题

17. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2^{n} － 1$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 2$ ， $b_{n + 1} - 2 b_{n} = 8 a_{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 在△ABC中，D是BC中点，AB＝3，AC＝ $\sqrt{13}$ ，AD＝ $\sqrt{7}$ ．

(1)、求边BC的长；

(2)、求△ABD内切圆半径．

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $Δ P A C$ 为正三角形， $M$ 为棱 $P A$ 的中点， $A B ⊥ A C$ ， $A C = A B$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $P A C$ ．

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $Q$ 是棱 $A B$ 上一点， $V_{Q － B M C} = \frac{1}{4} V_{P － A B C}$ ，求二面角 $Q - M C - A$ 的大小．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} ＝ 1$ （a＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，且经过点P（2，2）．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点Q（1，－1）的直线与椭圆C相交于M，N两点（与点P不重合），试判断点P与以MN为直径的圆的位置关系，并说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - c o s x - 2 x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求证： $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2} ， + \infty)$ 上仅有2个零点．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = 1 - \sqrt{3} t \end{array}$ （ $t$ 为参数）．以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} - 2 ρ \cos θ - 3 = 0$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的直角坐标方程和直线 $l$ 的普通方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，设 $M (1, 1)$ ，求 $\frac{1}{| M A |} ＋ \frac{1}{| M B |}$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 3 | - 2 | x |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \geq 2$ 的解集；

(2)、若 $f (x)$ 的最大值为 $m$ ， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为正数且 $a + b + c = m$ ，求证： $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 3$ ．

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