河南省洛阳市2019-2020学年高二上学期期中数学试题

试卷更新日期：2019-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若 $a < b < 0$ ，那么下列不等式中不正确的是（）

A、 $a b > b^{2}$ B、 $a b < a^{2}$ C、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、 $\frac{b}{a} < \frac{a}{b}$

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2. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $\frac{b}{c} = \frac{\cos B}{\cos C}$ ，则 $△ A B C$ 一定是（）

A、等边三角形 B、等腰三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形

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3. 若数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} = \frac{2 n}{n + 1}$ ，则此数列是（）

A、递增数列 B、递减数列 C、摆动数列 D、以上都不是

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4. 下列函数中， $y$ 的最小值为 $2$ 的是（）

A、 $y = x + \frac{1}{x}$ B、 $y = \frac{x^{2} + 3}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ C、 $y = e^{x} + e^{- x}$ D、 $y = \sin x + \frac{1}{\sin x} (0 < x < \frac{π}{2})$

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5. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} + a_{7} = 9, a_{2} a_{6} = 8$ ，且 $a_{n} < a_{n + 1}$ ，则 $a_{10}$ 等于（）

A、 $16 \sqrt{2}$ B、 $16$ C、 $8 \sqrt{2}$ D、 $8$

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6. 已知锐角三角形的三边分别为 $5, 12, x$ ，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(7, 17)$ B、 $(7, 13)$ C、 $(7, \sqrt{119})$ D、 $(\sqrt{119}, 13)$

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7. 若 $\lg (3 a) + \lg b = \lg (a + b + 1)$ ，则 $a b$ 的最小值为（）

A、 $1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2$

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，且满足 $a_{n + 1} = \frac{1 + a_{n}}{1 - a_{n}} (n \in N^{*})$ ，若 $a_{1} = \frac{1}{3}$ ，则 $T_{2019}$ 为（）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B = 45 ° ， A C = 8 ， D$ 是 $B C$ 边上一点， $D C = 5 ， D A = 7$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $8$ D、 $4 \sqrt{6}$

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10. 实数 $x ， y$ 满足条件 ${\begin{array}{l} x - y - 1 \leq 0 \\ 2 x - y - 3 \geq 0 \end{array}$ .当目标函数 $z = a x + b y (a ， b > 0)$ 在该约束条件下取到最小值 $4$ 时， $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为（）

A、 $6$ B、 $4$ C、 $3$ D、 $2$

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11. 设等差数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}, T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{3 n + 33}{n + 3}$ ，则使 $\frac{a_{n}}{b_{n}} \in Z$ 的 $n$ 的个数为（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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12. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $c = 2 \sqrt{2}$ ，点 $P$ 是 $A B$ 的中点，若 $P C = a - b$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $3$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $12$

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二、填空题

13. 设 $0 < a < b < 1$ ，则四个数 $2 \sqrt{a b}$ ， $2 a b$ ， $a + b$ ， $a^{2} + b^{2}$ 中最小的是．

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14. 若实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ 4 x + 3 y \leq 12 \end{array}$ ，则 $z = \frac{2 x + y + 3}{x + 1}$ 的取值范围是．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2^{2 n + 1} + a$ ，若此数列为等比数列，则 $a =$ ．

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16. 在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $b = 3 c \sin A$ ，则 $\tan A + \tan B + \tan C$ 的最小值为．

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三、解答题

17. 设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.已知 $a_{3} = 5, S_{7} = 49$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ “的对边分别为 $a, b, c$ .已知 $C = \frac{π}{4}, a = \frac{2 \sqrt{10}}{5} c$

(1)、求 $\sin A$ 的值；

(2)、若 $c = \sqrt{5}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 为促进全民健身运动，公司为员工购买某健身俱乐部的健身卡，每张 $360$ 元，使用规定：不记名，每卡每次仅限 $1$ 人，每天仅限 $1$ 次.公司共 $90$ 名员工，公司领导打算组织员工分批去健身，除需购买若干张健身卡外，每次去俱乐部还要包租一辆汽车，费用是每次 $40$ 元，如果要使每位员工健身 $10$ 次，那么公司购买多少张健身卡最合算，共需花费多少元钱？

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20.

(1)、设不等式 $a x^{2} - 2 x - 2 a + 1 < 0$ 对于满足 $| x - 1 | \leq 1$ 的实数x都成立，求正实数 $a$ 的取值范围；

(2)、设不等式 $a x^{2} - 2 x - 2 a + 1 < 0$ 对于满足 $| a | \leq 2$ 的实数 $a$ 都成立，求实数 $x$ 的取值范围.

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21. 在 $△ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别为角 $A ， B ， C$ 的对边，且 $\sqrt{3} (b \sin C - \frac{c \cos B}{\tan C}) = a$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的内切圆面积为 $4 π$ ，求 $△ A B C$ 面积 $S$ 的最小值.

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22. 设 $S_{n}$ 为正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $2 S_{n} = a_{n}^{2} + a_{n} (n \in N^{*})$ .数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{1} = 2$ ， $b_{n + 1} = 3 b_{n} + 2 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} (b_{n} + 1)$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；

(3)、设 $d_{n} = b_{n} + {(- 1)}^{n + 1} \cdot 2^{a_{n}} \cdot t + 1$ ，问是否存在整数 $t (t \neq 0)$ ，使数列 ${d_{n}}$ 为递增数列？若存在求 $t$ 的值，若不存在说明理由.

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