河南省开封市五县联考2019-2020学年高二上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2019-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列命题是真命题的是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} > 0$ B、 $\exists x_{0} \in R$ ， $2^{x_{0}} < 0$ C、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} \geq 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $2^{x} \geq 1$

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2. 双曲线 $C : \frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的焦点坐标为（）

A、 $(\pm 2, 0)$ B、 $(0, \pm 2)$ C、 $(\pm 2 \sqrt{3}, 0)$ D、 $(0, \pm 2 \sqrt{3})$

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3. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} a_{5} = 12$ ，则 $a_{4} =$ （）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $\pm 3 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\pm 2 \sqrt{3}$

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4. “ $0 < x < 4$ ”是“ $\log_{2} x < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点为 $A$ ，左、右两焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，若 $Δ A F_{1} F_{2}$ 为等边三角形，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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6. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm \frac{3}{4} x$ B、 $y = \pm \frac{5}{4} x$ C、 $y = \pm \frac{4}{5} x$ D、 $y = \pm \frac{4}{3} x$

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7. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $(a + b) (\frac{4}{a} + \frac{16}{b})$ 的最小值为（）

A、 $32$ B、 $36$ C、 $39$ D、 $45$

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8. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 两焦点间的距离为 $2 \sqrt{2}$ ，且过点 $A (\sqrt{3}, \sqrt{2})$ ，则椭圆 $C$ 的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{3} = 1$

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9. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{S_{5}}{S_{11}} = 3$ ，则 $\frac{a_{3}}{a_{6}} =$ （）

A、 $\frac{11}{2}$ B、 $\frac{11}{3}$ C、 $\frac{33}{5}$ D、 $\frac{22}{5}$

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10. 设命题 $p :$ 若函数 $f (x) = - {(3 - 2 a)}^{x}$ 是减函数，则 $a < 1$ ，命题 $q :$ 若函数 $g (x) = x^{2} + 2 a x + 4$ 在 $[2, + \infty)$ 上是单调递增，则 $a < - 2$ .那么下列命题为真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $^{\neg} p$ C、 $(^{\neg} p) \lor q$ D、 $p \land (^{\neg} q)$

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11. 设 $A$ 、 $B$ 分别为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右顶点， $P$ 、 $Q$ 是双曲线 $C$ 上关于 $x$ 轴对称的不同两点，设直线 $A P$ 、 $B Q$ 的斜率分别为 $m$ 、 $n$ ，若 $m n = - 1$ ，则双曲线 $C$ 的离心率 $e$ 是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{5}$

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12. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{9 y^{2}}{5 a^{2}} = 1$ ，点 $P$ 为椭圆 $C$ 上位于第一象限一点， $O$ 为坐标原点，过椭圆左顶点 $A$ 作直线 $l // O P$ ，交椭圆于另一点 $B$ ，若 $| A B | = \frac{1}{2} | O P |$ ，则直线 $l$ 的斜率为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\sqrt{5}$

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二、填空题

13. 命题“ $\exists x_{0} \in R,$ $\sin x_{0} > 1$ ”的否定为.

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14. 已知实数 $x$ 、 $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y + 1 \geq 0 \\ x + 2 y + 1 \geq 0 \\ x \leq 1 \end{array}$ ，则 $z = 3 x - y$ 的最小值为．

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15. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 4$ ， $a_{n + 1} = 3 a_{n} - 2$ ，若对于任意的 $n \in N^{*}$ ， $k (a_{n} - 1) \geq 2 n - 5$ 恒成立，则实数 $k$ 的最小值为．

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16. 已知点 $A$ 、 $B$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左、右顶点，点 $M$ 为 $x$ 轴上一点，过 $M$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆 $C$ 于 $P$ 、 $Q$ 两点，过 $M$ 作 $A P$ 的垂线交 $B Q$ 于点 $N$ ，则 $\frac{S_{Δ B M N}}{S_{Δ B M Q}} =$ ．

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三、解答题

17. 设命题 $p : x^{2} - (2 a - 1) x + a (a - 1) < 0$ ，命题 $q : 0 \leq 2 x - 1 \leq 1$ ，若 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 在平面直角坐标 $x O y$ 中， $F_{1} (- 3, 0)$ ， $F_{2} (3, 0)$ ，点 $P$ 是平面上一点，使 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的周长为 $16$ .

(1)、求点 $P$ 的轨迹方程；

(2)、求 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} |$ 的最大值.

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，有 $S_{10} = 55$ ， $S_{4} = 10$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $\frac{1}{2} \leq T_{n} < 1$ .

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20. 双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点 $(\sqrt{5}, \frac{1}{2})$ ， $(2 \sqrt{2}, - 1)$ 在双曲线 $C$ 上.

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、直线 $l$ 过点 $F_{2}$ 且与双曲线 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $A B$ 的中点的横坐标为 $- 2 \sqrt{5}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 6$ ， $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 3^{n + 1}$ .

(1)、证明：数列 ${\frac{a_{n}}{3^{n}}}$ 为等差数列；

(2)、求 $S_{n}$ ；

(3)、对任意 $m \in N^{*}$ 将数列 ${\frac{a_{n}}{3^{n}}}$ 中落入区间 $(3^{m}, 3^{2 m})$ 内的项的个数记为 $b_{m}$ ，求数列 ${b_{m}}$ 的前 $m$ 项和 $T_{m}$ .

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22. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{2} = 1 (a > \sqrt{2})$ 的右焦点为 $F$ ， $P$ 是椭圆 $C$ 上一点， $P F ⊥ x$ 轴， $| P F | = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，线段 $A B$ 的中点为 $M$ ， $O$ 为坐标原点，且 $| O M | = \sqrt{2}$ ，求 $Δ A O B$ 面积的最大值.

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