江苏省镇江市2019-2020学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2019-12-06 类型：期中考试

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一、填空题

1. 设全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5}$ ，若集合 $A = {3, 4, 5}$ ，则 $C_{U} A =$ .

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2. 命题“ $\exists x \in R, x^{2} - 2 x + 1 \geq 0$ ”的否定是.

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3. 函数 $f (x) = l g (3 - x) + \sqrt{2 + x}$ 的定义域是．

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4. 已知扇形的半径为6，圆心角为 $\frac{π}{3}$ ，则扇形的面积为.

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5. 设函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A ， ω ， φ$ 为参数，且 $A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，则 $φ$ 的值为.

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6. 若函数f（x）=xln（x+ $\sqrt{a + x^{2}}$ ）为偶函数，则a= ．

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7. 已知 $A \neq k x + \frac{π}{2}, B \neq k x + \frac{π}{2}, C \neq k x + \frac{π}{2} (k \in Z)$ , 则“ $A + B + C = π$ ”是 $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B t a n C$ "的条件 (请在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择一个合适的填空) ．

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8. 设曲线 $y = e^{x}$ 在点（0，1）处的切线与曲线 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 上点 $Ρ$ 处的切线垂直，则 $Ρ$ 的坐标为．

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9. 函数 $f (x) = | x^{2} - 1 | + l n \frac{1}{x + 2}$ 的零点个数为．

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10. 若 $\log_{9} (3 a + 4 b) = l o g_{3} \sqrt{a b}$ ，则 $a + 3 b$ 的最小值是．

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11. 定义在 $(0, \frac{π}{2})$ 的函数 $f (x) = 8 \sin x - \tan x$ 的最大值为．

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12. 已知 $\tan (α + \frac{π}{3}) = 2 \sqrt{3}$ ，则 $\frac{\sin α}{\sin (α + \frac{2}{3} π)}$ = ．

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13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 3^{x} ， x \leq 0 \\ | x - a | - \frac{1}{x} ， x > 0 \end{array}$ 有 $4$ 个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围为．

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14. 已知函数 $f (x) = l n \frac{x + 8}{2 - x}$ 的定义城为 $D$ ，对于任意 $x_{1}, x_{2} \in D$ ，当 $| x_{1} - x_{2} | = 2$ 时， $| f (x_{2}) - f (x_{1}) |$ 的最小值为．

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二、解答题

15. 已知函数 $f (x) = {(\sqrt{3} \cos x + \sin x)}^{2} - 2 \sqrt{3} \sin 2 x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值，并写出 $f (x)$ 取得最小值时自变量 $x$ 的取值集合；

(2)、若 $x \in [- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ ，求函数 $f (x)$ 的单调减区间．

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16. 已知 $Δ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对应的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a + 2 c = 2 b c \cos A$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ， $a + c = 4$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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17. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{a}{e^{x}}$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 具有奇偶性，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $a = 1 ， g (x) = f (x) - 2 x$ ，求不等式 $g (3 \ln x - 2) + g (\ln x) < 0$ 的解集．

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18. 已知函数 $f (x) = 2 \ln x - a x (a \in R)$ ．

(1)、若 $a = 3$ ，求函数 $y = f (x)$ 的图像在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若不等式 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $x \in [1, 2],$ 求 $f (x)$ 的最大值．

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19. 有一个墙角，两墙面所成二面角的大小为 $α (0 < α < π) ，$ 有一块长为 $a$ 米，宽为 $b (a > b)$ 米的矩形木板．用该木板档在墙角处，木板边紧贴墙面和地面，和墙角、地面围成一个直角三棱柱储物仓 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(1)、当 $A B$ 为多少米时，储物仓底面三角形 $A B C$ 面积最大？

(2)、当 $A B$ 为多少米时，储物仓的容积最大？

(3)、求储物仓侧面积的最大值．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{4} x^{3} - m x^{2} - m x - m (m \in R)$ ．

(1)、当 $m = - 1$ ，求函数 $f (x)$ 的极小值；

(2)、已知函数 $f (x)$ 在 $x = x_{1}$ 处取得极值，求证： $m f (x_{1}) < 0$ ；

(3)、求函数 $f (x)$ 的零点个数．

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