江苏省南通市通州区2019~2020学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2019-12-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x > 1}$ ， $B = {0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${2}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{1 - x}}{x + 4}$ 的定义域为（）

A、 $(- \infty ， 1]$ B、 $(- \infty ， 1)$ C、 $(- \infty ， - 4) \cup (- 4 ， 1]$ D、 $(- \infty ， - 4) \cup (- 4 ， 1)$

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3. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(2 ， \frac{1}{4})$ ，则 $f (\frac{1}{4})$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、16

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4. 下列函数中，值域为 $[0 ， + \infty)$ 的是（）

A、 $y = x^{\frac{1}{2}}$ B、 $y = 3^{x}$ C、 $y = \log_{2} x$ D、 $y = \frac{x}{x - 1}$

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5. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (x + b)$ 的图象如图，则 $a b =$ （）

A、－6 B、－8 C、6 D、8

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6. 二次函数 $f (x) = - x^{2} + 2 t x$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上最大值为3，则实数 $t$ ＝（）

A、 $\pm \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、2或 $\sqrt{3}$

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7. 已知函数 $f (x) = 2^{x}$ ，若 $a = f (2^{0.2}) ， b = f (2) ， c = f (\log_{2} 5)$ ，则（）

A、a＜b＜c B、c＜b＜a C、b＜a＜c D、a＜c＜b

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x - 3} + 1 ， x \leq 3 ， \\ \frac{2 x + 1}{x - 3} ， x > 3 ， \end{array}$ 满足 $f (a) = 3$ ，则 $a$ 的值是（）

A、4 B、8 C、10 D、4或10

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9. 函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 4 x + 3)$ 的单调递增区间是（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(- \infty ， 2)$ C、 $(2 ， + \infty)$ D、 $(3 ， + \infty)$

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10. 已知定义在R上的奇函数 $y = f (x)$ ，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = | x - a^{2} | - a^{2}$ ，若对任意实数x有 $f (x - a) \leq f (x)$ 成立，则正数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{4} ， + \infty)$ B、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $(0 ， \frac{1}{4}]$ D、 $(0 ， \frac{1}{2}]$

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二、填空题

11. 计算： ${(\frac{1}{27})}^{- \frac{1}{3}} - \log_{2} 8 =$ ．

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12. 已知 $f (\frac{1}{x} - x) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ ，则 $f (2) =$ ．

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13. 已知函数 $y = f (x)$ 是R上的奇函数，且当x＜0时 $f (x) = x^{2} - 1$ ，则当x＞0时 $f (x) =$ ．

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14. 正数 $x ， y$ 满足 $x^{2} - 3 y^{2} = 2 x y$ ，则 $\frac{x - 2 y}{x + 2 y}$ 的值为．

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15. 某店从水果批发市场购得椰子两筐，连同运费总共花了300元，回来后发现有12个是坏的，不能将它们出售，余下的椰子按高出成本价1元/个售出，售完后共赚得78元．则这两筐椰子原来共有个．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x + 2 ， x < m ， \\ x^{2} + 2 x - m ， x \geq m . \end{matrix}$ 若函数 $f (x)$ 恰有2个不同的零点，则实数 $m$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}， $B = {y | y = \sqrt{x + 1} ， x \in [- 1 ， 8]}$ ．

(1)、求集合B；

(2)、若 $A \cup B = B$ ，求实数a的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = 1 + \frac{a}{2^{x} + 1}$ 为奇函数．

(1)、求a的值，并证明 $f (x)$ 是R上的增函数；

(2)、若关于t的不等式f(t²－2t)＋f(2t²－k)＜0的解集非空，求实数k的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = | \frac{1}{x} - 1 | + \frac{1}{2} (x > 0)$ ．

(1)、若 $m > n > 0$ 时， $f (m) = f (n)$ ，求 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的值；

(2)、若 $m > n > 0$ 时，函数 $f (x)$ 的定义域与值域均为 $[n ， m]$ ，求所有 $m ， n$ 值．

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20. 设函数 $f (x) = t^{- x} - t^{x} (t > 0 ， t \neq 1)$ ， $f (- 1) = \frac{3}{2}$ ．

(1)、求 $t$ 的值；

(2)、求函数 $g (x) = 4^{- x} + 4^{x} + 2 k f (x)$ ， $x \in [0 ， 1]$ 的最大值 $h (k)$ ．

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21. 某市每年春节前后，由于大量的烟花炮竹的燃放，空气污染较为严重．该市环保研究所对近年春节前后每天的空气污染情况调查研究后发现，每天空气污染的指数 $f (t)$ 随时刻 $t$ (时)变化的规律满足表达式 $f (t) = | \lg (\frac{3}{8} t + 1) - a | + 3 a + 2$ ， $t \in [0 ， 24]$ ，其中 $a$ 为空气治理调节参数，且 $a \in (0 ， 1)$ ．

(1)、令 $x = \lg (\frac{3}{8} t + 1)$ ，求 $x$ 的取值范围；

(2)、若规定每天中 $f (t)$ 的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过5，试求调节参数 $a$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = x + \frac{m}{x} - 2 (x > 0)$ 的最小值为0．

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、函数 $g (x) = f (| x^{2} - 2 x |) + \frac{2 k}{| x^{2} - 2 x |} - k$ 有6个不同零点，求实数k的取值范围．

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