江苏省南京市六校联合体2019-2020学年高一上学期数学期中联合调研试卷

试卷更新日期：2019-12-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ ， $B = {x | 2 x + 3 > 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）.

A、 ${- 2, - 1, 0, 1}$ B、 ${- 2, 0, 1, 2}$ C、 ${- 1, 0, 1}$ D、 ${- 1, 0, 1, 2}$

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2. 函数f（x）= $\frac{\sqrt{2 x + 1}}{x}$ 的定义域为（）

A、 $(- \frac{1}{2}, + \infty)$ B、 $[- \frac{1}{2}, + \infty)$ C、 $(- \frac{1}{2}, 0) \cup (0, + \infty)$ D、 $[- \frac{1}{2}, 0) \cup (0, + \infty)$

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3. 已知 $f (x)$ 是一次函数，且 $f (x - 1) = 3 x - 5$ ，则 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = 3 x + 2$ B、 $f (x) = 3 x - 2$ C、 $f (x) = 2 x + 3$ D、 $f (x) = 2 x - 3$

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4. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{\frac{1}{2}}, x \geq 1 \\ {(\frac{1}{2})}^{x}, x < 1 \end{matrix}$ ，则 $f [f (- 3)] =$ （）.

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $- 2 \sqrt{2}$

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5. 若 $f (x)$ 为奇函数，且当 $x < 0$ 时， $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (2 - x)$ ，则 $f (2)$ 的值为（）.

A、 $1$ B、 $2$ C、 $0$ D、 $- 2$

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6. 若 $4 \in {x + 2, x^{2}}$ ，则实数 $x$ 的值为（）.

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $2$ 或 $- 2$ D、 $2$ 或 $4$

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7. 函数 $f (x) = \frac{e^{x} - a e^{- x}}{x^{2} + 1}$ 是奇函数，则实数 $a$ 的值为（）.

A、 $1$ B、 $0$ C、 $1$ 或 $- 1$ D、 $- 1$

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8. 若 $a = \log_{4} 3, b = 3^{0.2}, c = \log_{0.5} 5$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）.

A、 $a > c > b$ B、 $c > a > b$ C、 $b > c > a$ D、 $b > a > c$

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9. 函数 $f (x) = 4^{x} - 2^{x + 1} - 1, x \in (- \infty, 2]$ 的值域为（）.

A、 $(- 1, 7]$ B、 $[- 2, 7]$ C、 $(- 2, 23]$ D、 $[- 2, + \infty)$

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10. 数学学习的最终目标：让学习者会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界.“双11”就要到了，电商的优惠活动很多，某同学借助于已学数学知识对“双11”相关优惠活动进行研究.已知2019年“双11”期间某商品原价为 $a$ 元，商家准备在节前连续2次对该商品进行提价且每次提价 $10 %$ ，然后在“双11”活动期间连续2次对该商品进行降价且每次降价 $10 %$ .该同学得到结论：最后该商品的价格与原来价格 $a$ 元相比（）.

A、相等 B、略有提高 C、略有降低 D、无法确定

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11. 设函数 $f (x) = \lg | x | - \frac{1}{x^{2}} + 1$ ，则使得 $f (\log_{5} m) \geq 0$ 成立的 $m$ 的取值范围是（）.

A、 $[\frac{1}{5}, 5]$ B、 $(0, \frac{1}{5}] \cup [5, + \infty)$ C、 $(- \infty, \frac{1}{5}] \cup [5, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0] \cup [\frac{1}{5}, 5)$

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12. 若函数 $f (x) = x^{2} - a | x - 1 |$ 在 $[0, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）.

A、 $[0, 2]$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $[- 2, 2]$ D、 $[- 2, + \infty)$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = x^{3} + \frac{a}{x} + b x - 3$ ，且 $f (- 2019) = 2019$ ，那么 $f (2019)$ 的值为.

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14. 计算 $\log_{4} 25 - 2 \log_{4} 10 + \log_{3} 5 \cdot \log_{5} 27$ 的值是.

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15. 函数 $f (x) = a^{x - 1} + 1 (a > 0 ， a \neq 1)$ 的图像向左平移 $1$ 个单位后所得新函数的图象恒过定点.

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16. 给出下列四个命题：
①函数 $f (x) = x^{- 2}$ 是偶函数且在 $(0, + \infty)$ 单调递减；

②函数 $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x - 5)$ 的单调递减区间是 $(- \infty, 2)$ ；

③函数 $f (x) = \log_{3} x$ ，若 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} < f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ ；

④函数 $f (x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{x} + 1}$ 是奇函数.

其中正确命题的序号是.

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三、解答题

17. 若全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | a - 2 \leq x \leq a + 3}, B = {x | 2 \leq x \leq 7}, C = {x | (x - 4) (x + 3) \geq 0}$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $A \cap B, A \cup (C_{U} B)$ ；

(2)、若 $A \cap C = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = | x | (x + 4)$ .

(1)、将函数 $f (x)$ 写成分段函数的形式，并作出函数在 $[- 5 ， 1]$ 上的简图；

(2)、根据函数的图象直接写出函数的单调增区间；

(3)、函数 $f (x)$ 在区间 $(- 4 ， n)$ 上既有最大值也有最小值，直接写出实数 $n$ 的取值范围（不要求写过程）.

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19. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (2 + x) - l o g_{a} (2 - x)$ ，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的定义域，并判断函数 $y = f (x)$ 的奇偶性；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ .

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20. 将一张长方形的纸片沿着一条直线折叠，折痕（线段）将纸片分成两部分，其中纸片的长 $A B = 8$ ，宽 $A D = 6$ .

(1)、按图1情形折叠，其中 $M$ 在边 $A B$ 上， $N$ 在边 $A D$ 上，设 $A M = x$ ，若 $Δ A M N$ 的面积为 $16$ ，求 $x$ 的取值范围；

(2)、按图2情形折叠，其中 $M 、 N$ 分别在边 $B C 、 A D$ 上（ $M 、 N$ 不与长方形顶点重合），记折痕长 $M N$ 为 $l$ ，若四边形 $A N M B$ 的面积为 $16$ ，求折痕长 $l$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ ， $g (x) = f (2^{x})$ .

(1)、用定义证明函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是增函数；

(2)、试判断函数 $g (x)$ 在 $R$ 上的单调性（直接写出结论）；

(3)、设函数 $h (x) = {[g (x)]}^{2} - 2 m g (x) + m + 1$ ， $x \in [0, 1]$ .若函数 $h (x)$ 的最小值为 $- 1$ ，求实数 $m$ 的值.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - t x + 2 t - 2$ ， $g (x) = 2 | x - 1 |$ .

(1)、若 $f (x) \geq 2 t - 4$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围；

(2)、若 $t \geq 6$ ，函数 $F (x) = \min {f (x), g (x)}$ ，其中 $\min {p, q} = {\begin{array}{l} p, p \leq q \\ q, p > q \end{array}$ .
①求使得 $F (x) = x^{2} - t x + 2 t - 2$ 成立的 $x$ 的取值范围；

②求 $F (x)$ 在区间 $[0, 6]$ 上的最大值 $M (t)$ .

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