山东省烟台市2019-2020学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2019-12-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $U = {1, 2, 3, 4, 5}$ ， $A = {1, 3, 4}$ ， $B = {4, 5}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${3}$ B、 ${1,3}$ C、 ${3,4}$ D、 ${1,3,4}$

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2. 命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} > 1$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} \leq 1$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} < 1$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} < 1$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} \leq 1$

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3. 设 $a \in R$ ，则“ $a > 0$ ”是“ $a^{2} > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 我们把含有限个元素的集合 $A$ 叫做有限集，用 $c a r d (A)$ 表示有限集合 $A$ 中元素的个数.例如， $A = {x, y, z}$ ，则 $c a r d (A) = 3$ .若非空集合 $M, N$ 满足 $c a r d (M) =$ $c a r d (N)$ ，且 $M \subseteq N$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $M \cup N = M$ B、 $M \cap N = N$ C、 $M \cup N = N$ D、 $M \cap N = \emptyset$

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5. 设 $0 < x < \frac{1}{2}$ ，则 $x (1 - 2 x)$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{4}$

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6. 下面各组函数中表示同一个函数的是（）

A、 $f (x) = x$ ， $g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ B、 $f (x) = | x |$ ， $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ C、 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ ， $g (x) = x + 1$ D、 $f (x) = \frac{| x |}{x}$ ， $g (x) = {\begin{matrix} 1, x \geq 0, \\ - 1, x < 0. \end{matrix}$

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7. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} 3 x + 1, x > 0, \\ 2 x^{2} - 1, x < 0, \end{array}$ 若 $f (a) + f (- 1) = 8$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $\pm 2$ D、 $\pm 3$

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8. 若不等式 $m x^{2} + 2 m x - 2 < 0$ 对一切实数 $x$ 都成立，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2, 0)$ B、 $(- 2, 0]$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $(- \infty, 0]$

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9. 某容器如图所示，现从容器顶部将水匀速注入其中，注满为止.记容器内水面的高度 $h$ 随时间 $t$ 变化的函数为 $h = f (t)$ ，则 $h = f (t)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的单调函数， $A (0, 1)$ ， $B (2, - 1)$ 是其图象上的两点,则不等式 $| f (x - 1) | > 1$ 的解集为（）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ C、 $(1, 3)$ D、 $(- \infty, 1) \cup (3, + \infty)$

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二、多选题

11. 下列结论正确的有（）

A、函数 $f (x) = {(x - 1)}^{0} + \sqrt{x + 1}$ 的定义域为 $(- 1, 1) \cup (1, + \infty)$ B、函数 $y = f (x)$ ， $x \in [- 1, 1]$ 的图象与 $y$ 轴有且只有一个交点 C、“ $k > 1$ ”是“函数 $f (x) = (k - 1) x + k$ $(k \in R)$ 为增函数”的充要条件 D、若奇函数 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处有定义，则 $f (0) = 0$

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12. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“ $=$ ”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“ $<$ ”和“ $>$ ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若 $a, b, c \in R$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $a b \neq 0$ 且 $a < b$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、若 $0 < a < 1$ ，则 $a^{3} < a$ C、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{b + 1}{a + 1} > \frac{b}{a}$ D、若 $c < b < a$ 且 $a c < 0$ ，则 $c b^{2} < a b^{2}$

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13. 我们把定义域为 $[0, + \infty)$ 且同时满足以下两个条件的函数 $f (x)$ 称为“ $Ω$ 函数”：（1）对任意的 $x \in [0, + \infty)$ ，总有 $f (x) \geq 0$ ；（2）若 $x \geq 0$ ， $y \geq 0$ ，则有 $f (x + y) \geq f (x) + f (y)$ 成立，下列判断正确的是（）

A、若 $f (x)$ 为“ $Ω$ 函数”，则 $f (0) = 0$ B、若 $f (x)$ 为“ $Ω$ 函数”，则 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上为增函数 C、函数 $g (x) = {\begin{matrix} 0, x \in Q, \\ 1, x \notin Q \end{matrix}$ 在 $[0, + \infty)$ 上是“ $Ω$ 函数” D、函数 $g (x) = x^{2} + x$ 在 $[0, + \infty)$ 上是“ $Ω$ 函数”

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三、填空题

14. 若函数 $f (x) = x^{3} + (b - 1) x^{2} + x$ 是定义在 $[2 a, 1 - a]$ 上的奇函数，则 $a + b =$ .

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15. 设 $p$ ： $x < 2$ ， $q$ ： $x < a$ ，若 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 已知函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的定义域相同，值域也相同，但不是同一个函数，则满足上述条件的一组 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的解析式可以为.

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17. 定义 $f (a, b) = {\begin{cases} a + b - \max {a, b}, a + b < 0, \\ \max {a, b}, a + b \geq 0, \end{cases}$ 其中 $\max {a, b}$ 表示 $a, b$ 中较大的数.对 $\forall x \in R$ ，设 $a = x^{2}$ ， $b = - x^{2} + 2 x$ ，函数 $g (x) = f (a, b)$ ，则：

(1)、 $g (- 1) =$ ；

(2)、若 $g (x) > g (x^{2})$ ，则实数 $x$ 的取值范围是.

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四、解答题

18. 已知集合 $A = {x | - 4 \leq x \leq 2}$ ， $B = {x | x^{2} + 4 x - 5 > 0}$ ， $C = {x | m - 1 < x < m + 1}$ .

(1)、求 $A \cup B$ ；

(2)、若 $B \cap C = \emptyset$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x + 1) = \frac{x^{2} + 2 x + 2}{x + 1}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、根据函数单调性的定义证明 $f (x)$ 在 $(0, 1)$ 上单调递减.

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20. 某种商品的销售价格会因诸多因素而上下浮动，经过调研得知： $2019$ 年 $9$ 月份第 $x$ （ $1 \leq x \leq 30$ ， $x \in N_{+}$ ）天的单件销售价格（单位：元 $f (x) = {\begin{matrix} 20 + x, 1 \leq x < 15 \\ 50 - x, 15 \leq x \leq 30 \end{matrix}$ ,第 $x$ 天的销售量（单位：件） $g (x) = m - x (m$ 为常数），且第 $20$ 天该商品的销售收入为 $600$ 元（销售收入 $=$ 销售价格 $\times$ 销售量）.

(1)、求m的值；

(2)、该月第几天的销售收入最高？最高为多少？

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21. 为打赢打好脱贫攻坚战，实现建档立卡贫困人员稳定增收，某地区把特色养殖确定为脱贫特色主导产业，助力乡村振兴.现计划建造一个室内面积为 $1500$ 平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留 $1.5$ 米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道.设温室的一边长度为 $x$ 米，如图所示.

(1)、将两个养殖池的总面积 $y$ 表示 $x$ 为的函数，并写出定义域；

(2)、当温室的边长 $x$ 取何值时，总面积 $y$ 最大？最大值是多少？

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22. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 的图象过点 $(0, 3)$ ，且不等式 $a x^{2} + b x + c \leq 0$ 的解集为 ${x | 1 \leq x \leq 3}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $g (x) = f (x) - (2 t - 4) x$ 在区间 $[- 1, 2]$ 上有最小值 $2$ ，求实数 $t$ 的值；

(3)、设 $h (x) = m x^{2} - 4 x + m$ ，若当 $x \in [- 1, 2]$ 时，函数 $y = h (x)$ 的图象恒在 $y = f (x)$ 图象的上方，求实数m的取值范围.

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23. 经过函数性质的学习，我们知道：“函数 $y = f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴成轴对称图形”的充要条件是“ $y = f (x)$ 为偶函数”.

(1)、若 $f (x)$ 为偶函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = 2 x - 1$ ，求 $f (x)$ 的解析式，并求不等式 $f (x) > f (2 x - 1)$ 的解集；

(2)、某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = a$ 成轴对称图形”的充要条件是“ $y = f (x + a)$ 为偶函数”.若函数 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，且当 $x \geq 1$ 时， $g (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ .
（i）求 $g (x)$ 的解析式；

（ii）求不等式 $g (x) > g (3 x - 1)$ 的解集.

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