山东省烟台市2019-2020学年高三上学期期中数学试题

试卷更新日期：2019-12-05 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设全集 $U$ 是实数集 $R$ ， $M = {x | \log_{2} x > 1} ， N = {x | 1 < x < 3}$ ，则 $(∁_{U} M) \cap N =$ （）

A、 ${x | 2 < x < 3}$ B、 ${x | x < 3}$ C、 ${x | 1 < x \leq 2}$ D、 ${x | x \leq 2}$

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2. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n} > a_{n - 1} (n \geq 2)$ ，若 $a_{3} = 1 ， a_{2} a_{4} = \frac{3}{4}$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3. 已知 $\sin 2 α = \frac{1}{3} ，$ 则 $\cos^{2} (α - \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重十斤，斩末一尺，重四斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重10斤；在细的一端截下1尺，重4斤，问依次每一尺各重多少斤？”设该问题中的金杖由粗到细是均匀变化的，则其重量为（）

A、5.5斤 B、8.5斤 C、35斤 D、40斤

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5. 设正实数 $a ， b ， c$ 分别满足 $a \cdot 2^{a} = 1 ， b \log_{2} b = 1 ， c \log_{3} c = 1$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $a > c > b$

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6. 在 $△ A B C$ 中， $B D$ 为 $A C$ 边上的中线， $E$ 为 $B D$ 的三等分点且 $D E = 2 B E$ ，则 $\vec{C E} =$ （）

A、 $\frac{1}{6} \vec{B A} - \frac{5}{6} \vec{B C}$ B、 $\frac{5}{6} \vec{B A} - \frac{1}{6} \vec{B C}$ C、 $\frac{1}{6} \vec{B A} + \frac{5}{6} \vec{B C}$ D、 $\frac{5}{6} \vec{B A} + \frac{1}{6} \vec{B C}$

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7. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x < 0$ 时， $f (x) = 2^{- x} - 1$ ，若 $f (a^{2} - 3) + f (2 a) \leq 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - 3] \cup [1 ， + \infty)$ B、 $[- 3 ， 1]$ C、 $(- 3 ， 1)$ D、 $(- \infty ， - 3) \cup (1 ， + \infty)$

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8. 已知函数 $f (x) = x^{2}$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线与函数 $g (x) = \frac{e^{x}}{a}$ 的图象相切，则实数 $a =$ （）

A、 $\sqrt{e}$ B、 $\frac{e \sqrt{e}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{e}}{2}$ D、 $e \sqrt{e}$

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9. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的周期为 $π$ ，将其图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后关于 $y$ 轴对称，现将 $y = f (x)$ 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 $2$ 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 $g (x)$ ，若 $g (- \frac{π}{3}) = \sqrt{2}$ ，则 $f (\frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ D、 $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

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10. 已知函数 $f (x) = x + \frac{m}{x}$ 与函数 $g (x) = - 3 + \frac{\ln x}{x}$ 的图象在区间 $[\frac{1}{2} ， 2]$ 上恰有两对关于 $x$ 轴对称的点，则实数m的取值范围是（）

A、 $[\frac{5}{4} + \ln 2 ， 2)$ B、 $(\frac{5}{4} + \ln 2 ， 2)$ C、 $[2 - \ln 2 ， 2)$ D、 $(2 - \ln 2 ， 2)$

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二、多选题

11. 下列结论正确的是（）

A、若 $a > b > 0 ， c < d < 0$ ，则一定有 $\frac{b}{c} > \frac{a}{d}$ B、若 $x > y > 0$ ，且 $x y = 1$ ，则 $x + \frac{1}{y} > \frac{y}{2^{x}} > \log_{2} (x + y)$ C、设 ${a_{n}}$ 是等差数列，若 $a_{2} > a_{1} > 0 ，$ 则 $a_{2} > \sqrt{a_{1} a_{3}}$ D、若 $x \in [0 ， + \infty)$ ，则 $\ln (1 + x) \geq x - \frac{1}{8} x^{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = \sin x \cdot \sin (x + \frac{π}{3}) - \frac{1}{4}$ 的定义域为 $[m ， n] (m < n)$ ，值域为 $[- \frac{1}{2} ， \frac{1}{4}]$ ，则 $n - m$ 的值不可能是（）

A、 $\frac{5 π}{12}$ B、 $\frac{7 π}{12}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{11 π}{12}$

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13. 已知函数 $y = f (x)$ 是 $R$ 上的奇函数，对任意 $x \in R$ ，都有 $f (2 - x) = f (x) + f (2)$ 成立，当 $x_{1} ， x_{2} \in [0 ， 1]$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $f (1) + f (2) + f (3) + \cdot \cdot \cdot + f (2019) = 0$ B、直线 $x = - 5$ 是函数 $y = f (x)$ 图象的一条对称轴 C、函数 $y = f (x)$ 在 $[- 7 ， 7]$ 上有 $5$ 个零点 D、函数 $y = f (x)$ 在 $[- 7 ， - 5]$ 上为减函数

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三、填空题

14. 已知 $| \vec{m} | = 6 \sqrt{3}, \vec{n} = (\cos θ, \sin θ)$ ， $\vec{m} \cdot \vec{n} = 9$ ，则向量 $\vec{m}, \vec{n}$ 的夹角为.

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15. 已知 $x > 0 ， y > 0 ， x + 3 y + x y = 9 ，$ ，则 $x + 3 y$ 的最小值为．

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16. 已知函数 $f (x) = x - 1 - a \ln x (a > 0)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 内有且只有一个零点，则 $f (x)$ 在 $[1 ， e^{2}]$ 上的最大值与最小值的和为.

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17. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - e x^{2} + a x ， g (x) = \frac{\ln x}{x}$ ，对于任意的 $x_{1} \in [\frac{1}{2} ， e]$ ，存在 $x_{2} \in [\frac{1}{2} ， e]$ ，使 $f^{'} (x_{1}) \leq g (x_{2})$ ，则实数 $a$ 的取值范围为；若不等式 $f (x) + \frac{1}{6} x^{3} < x g (x)$ 有且仅有一个整数解，则实数 $a$ 的取值范围为.

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四、解答题

18. 已知 ${a_{n}}$ 为公差不为 $0$ 的等差数列， $a_{1} = 2$ ，且 $a_{1}, a_{3}, a_{9}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 2^{a_{n}}, c_{n} = a_{n} + {(- 1)}^{n} b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 已知 $△ A B C$ 的内角A,B,C所对的边分别为 $a, b, c, b = c \cos A + a \sin C$ .

(1)、求角C；

(2)、若AC边上的高长为 $\frac{1}{3} b$ ，求 $\cos B$ .

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的图象在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 随着创新驱动发展战略的不断深入实施，高新技术企业在科技创新和经济发展中的带动作用日益凸显，某能源科学技术开发中心拟投资开发某新型能源产品，估计能获得 $25 ~ 900$ 万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励议案：奖金 $y$ （单位：万元）随投资收益 $x$ （单位：万元）的增加而增加，奖金不超过 $90$ 万元，同时奖金不超过投资收益的 $20 %$ .（即：设奖励方案函数模拟为 $y = f (x)$ 时，则公司对函数模型的基本要求是：当 $x \in [25, 900]$ 时，① $f (x)$ 是增函数；② $f (x) \leq 90$ 恒成立；③ $f (x) \leq \frac{x}{5}$ 恒成立.）

(1)、现有两个奖励函数模型：（I） $f (x) = \frac{1}{15} x + 10$ ；（II） $f (x) = 2 \sqrt{x} - 6$ .试分析这两个函数模型是否符合公司要求？

(2)、已知函数 $f (x) = a \sqrt{x} - 10 (a \geq 2)$ 符合公司奖励方案函数模型要求，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 若各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 满足 $a_{n + 1}^{2} = 2 S_{n} + n + 2 (n \in N^{*})$ ，且 $a_{3} + a_{5} = 10$ .

(1)、判断数列 ${a_{n}}$ 是否为等差数列？并说明理由；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、若 $b_{n} = 2^{n} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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23. 已知函数 $f (x) = m \ln x - x + \frac{m}{x} (m \in R)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，不等式 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} < a$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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