山东省临沂市2019-2020学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2019-12-05 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {2, 3^{a}} ， B = {a, b}, A \cap B = {\frac{1}{3}} ，$ 则 $A \cup B =$ （）

A、 ${- 1 ， 2 ， \frac{1}{3}}$ B、 ${- 1 ， \frac{1}{3}}$ C、 ${2 ， \frac{1}{3}}$ D、 ${1 ， 2 ， \frac{1}{3}}$

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2. 函数 $y = \ln (2 x + 1) + \sqrt{4 - x^{2}}$ 的定义域为（）

A、 $[- \frac{1}{2}, 2]$ B、 $(- \frac{1}{2}, 2]$ C、 $[- 2, - \frac{1}{2})$ D、 $[- 2, - \frac{1}{2}]$

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3. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \begin{array}{l} l o g_{2} (1 - x), x < 0 \\ 4^{x}, x \geq 0 \end{array} \end{array}$ ，则 $f (- 3) + f (l o g_{2} 3) =$ （）

A、9 B、11 C、13 D、15

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4. 已知 $a, b, c$ 满足 $a > b > c$ ，且 $a c < 0$ ，那么下列选项中不一定成立的是（）

A、 $a b > a c$ B、 $(a - b) c < 0$ C、 $a^{2} c < b^{2} c$ D、 $a c (a - c) < 0$

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5. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，满足 $| \vec{a} | = 2, | \vec{b} | = \sqrt{2}, \vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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6. 二十四节气是中国古代的一种指导农事的补充历法，是我国劳动人民长期经验的积累成果和智慧的结晶，被誉为“中国的第五大发明”．由于二十四节气对古时候农事的进行起着非常重要的指导作用，所以劳动人民编写了很多记忆节气的歌谣：春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影是按照等差数列的规律计算出来的，在下表中，冬至的晷影最长为130.0寸，夏至的晷影最短为14.8寸，那么《易经》中所记录的清明的晷影长应为（）

A、77.2寸 B、72.4寸 C、67.3寸 D、62.8寸

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7. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} + a_{3} = 3, a_{2} + a_{4} = 6 ，$ 则 $S_{8} =$ （）

A、45 B、81 C、117 D、153

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8. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （其中 $A > 0 ， | φ | < \frac{π}{2}$ ）的图象如图所示，为了得到 $g (x) = A \sin ω x$ 的图象，只需将 $f (x)$ 图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 C、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 D、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度

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9. 已知 $f (x) = \frac{1}{4} x^{2} - \sin (x - \frac{π}{2}) ， f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，则 $f^{'} (x)$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 6) = f (x), y = f (x + 3)$ 为偶函数，若 $f (x)$ 在 $(0, 3)$ 内单调递减．则下面结论正确的是（）

A、 $f (10) < f (e^{\frac{1}{2}}) < f (\ln 2)$ B、 $f (e^{\frac{1}{2}}) < f (\ln 2) < f (10)$ C、 $f (\ln 2) < f (10) < f (e^{\frac{1}{2}})$ D、 $f (\ln 2) < f (e^{\frac{1}{2}}) < f (10)$

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二、多选题

11. 下列命题中，是真命题的是（）

A、已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |,$ 则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、若 $p : \forall x \in (0, + \infty), x - 1 > \ln x,$ 则 $\neg p : \exists x_{0} \in (0, + \infty), x_{0} - 1 \leq \ln x_{0}$ C、在 $Δ A B C$ 中，“ $\sin A + \cos A = \sin B + \cos B$ ”是“ $A = B$ ”的充要条件 D、若定义在R上的函数 $y = f (x)$ 是奇函数，则 $y = f (f (x))$ 也是奇函数

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12. 设 $f (x)$ 是定义在R上的函数，若存在两个不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$ ，使得 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) = \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称函数 $f (x)$ 具有性质P ，那么下列函数中，具有性质P的函数为（）
① $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{x}, x \neq 0 \\ 0, x = 0 \end{array}$ ；② $f (x) = | x^{2} - 1 |$ ；③ $f (x) = x^{3} + x$ ；④ $f (x) = 2^{| x |}$ ．

A、① B、② C、③ D、④

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13. 设函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ，已知 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 有且仅有3个零点，对于下列4个说法正确的是（）

A、在 $(0, π)$ 上存在 $x_{1}, x_{2}$ ，满足 $f (x_{1}) - f (x_{2}) = 2$ B、 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 有且仅有1个最大值点 C、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 单调递增 D、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{13}{6}, \frac{19}{6})$

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三、填空题

14. 若 $\tan α = 2 ，$ 则 $\cos (\frac{π}{2} + 2 α) =$ ．

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15. 若函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} + 3 x + 1$ 在区间 $(\frac{1}{2} ， 1)$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围为.

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16. $Δ A B C$ 中，D为AC上的一点，满足 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{D C}$ ．若P为BD上的一点，满足 $\vec{A P} = m \vec{A B} + n \vec{A C} (m > 0 ， n > 0)$ ，则 $m n$ 的最大值为； $\frac{4}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为．

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17. 设 $Δ A B C$ 的内角A ， B ， C的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a, b, c$ 依次成等比数列，且 $\cos (A - C) - \cos B = \frac{1}{2} ，$ 则 $\sin C =$ ．

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四、解答题

18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{3} = 6, S_{4} = 20$ ．

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、若 $a_{1}, a_{k}, S_{k + 2}$ 成等比数列，求正整数k的值．

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19. 设函数 $f (x) = 2 \sin^{2} ω x + 2 \sqrt{3} \sin ω x \cos ω x$ 的图象关于直线 $x = π$ 对称，其中 $ω$ 为常数，且 $ω \in (\frac{1}{2} ， 1)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (α) = 1 ， α \in (0 ， π)$ ，求 $α$ 的值．

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20. 已知函数 $f (x) = a \ln x + \frac{1}{x} (a \in R ， a \neq 0)$ .

(1)、若曲线 $f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与y轴垂直，求 $a$ 的值；

(2)、若在区间 $(0 ， e]$ 上至少存在一点 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) < 0$ 成立，求 $a$ 的取值范围．

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21. 如图，在平面四边形ABCD中， $∠ A B C = \frac{3 π}{4} ， ∠ B A C = ∠ D A C ， C D = 2 A B = 4$ ．

(1)、若 $A C = \sqrt{20}$ ，求△ABC的面积；

(2)、若 $∠ A D C = \frac{π}{6}$ ，求AC ．

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22. 某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为80万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚4万元，以后每月增加2万元．如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备(改造设备时间不计)，一方面可以改善环境，另一方面可以大大降低原料成本，据测算，添加回收净化设备并投产后的前4个月中的累计生产净收入g(n)是生产时间 $n$ 个月的二次函数 $g (n) = n^{2} + k n (k$ 是常数 $)$ ，且前3个月的累计生产净收入可达309万元，从第5个月开始，每个月的生产净收入都与第4个月相同，同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励120万元．

(1)、求前6个月的累计生产净收入g(6)的值；

(2)、问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造的纯收入．

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23. 已知 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} ， g (x) = \frac{5}{2} (x - \ln x)$ ．

(1)、当 $x > 0$ 时，证明： $f (x) > g (x)$ ；

(2)、已知点 $P (x ， x f (x)) ，点 Q (\sin x ， - \cos x)$ ，若O为坐标原点，设函数 $h (x) = \vec{O P} \cdot \vec{O Q}$ ，当 $x \in [- \frac{π}{2} ， π]$ 时，试判断 $h (x)$ 的零点个数．

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