北京市海淀区2019-2020学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2019-12-05 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列图案中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 抛物线 $y = {(x - 1)}^{2} + 2$ 的顶点坐标为（）

A、（-1，2） B、（1，2） C、（1，-2） D、（2，1）

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3. 体育课上，小悦在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的点是（）

A、M B、N C、P D、Q

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4. 将抛物线 $y = 2 x^{2}$ 向下平移3个单位，得到的抛物线为（）

A、 $y = 2 x^{2} + 3$ B、 $y = 2 x^{2} - 3$ C、 $y = 2 {(x + 3)}^{2}$ D、 $y = 2 {(x - 3)}^{2}$

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5. 已知水平放置的圆柱形排水管道，管道截面半径是1 m，若水面高0.2 m. 则排水管道截面的水面宽度为（）

A、0.6 m B、0.8 m C、1.2 m D、1.6 m

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6. 如图，在⊙O中， $O A ⊥ B C$ ， $∠ A D B = 25 °$ . 则 $∠ A O C$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $50 °$ D、 $55 °$

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7. 下列是关于四个图案的描述.
图1所示是太极图，俗称“阴阳鱼”，该图案关于外圈大圆的圆心中心对称；

图2所示是一个正三角形内接于圆；

图3所示是一个正方形内接于圆；

图4所示是两个同心圆，其中小圆的半径是外圈大圆半径的三分之二.

这四个图案中，阴影部分的面积不小于该图案外圈大圆面积一半的是（）

A、图1和图3 B、图2和图3 C、图2和图4 D、图1和图4

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8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 $y = - 2 x^{2} + m x + n$ 与x轴交于A， B两点. 若顶点C到x轴的距离为8，则线段AB的长度为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{15}$ D、4

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二、填空题

9. 在平面直角坐标系中，点 $P (3, - 2)$ 绕原点旋转180°后所得到的点的坐标为．

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10. 写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式．

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11. 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=50°，则∠BAC= ．

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12. 若二次函数 $y = {(x - 1)}^{2} + 3$ 的图象上有两点 $A (0, a), B (5, b)$ , 则 $a$ $b$ .（填“>”，“=”或“<”）

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13. 如图，边长为2的正方形ABCD绕着点C顺时针旋转90°，则点A运动的路径长为.

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14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于．

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15. 如图，已知正方形OBCD的三个顶点坐标分别为B(1，0)，C(1，1)， D(0，1). 若抛物线 $y = {(x - h)}^{2}$ 与正方形OBCD的边共有3个公共点，则h的取值范围是.

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中，
⑴作AB和BC的垂直平分线交于点O；

⑵以点O为圆心，OA长为半径作圆；

⑶⊙O分别与AB和BC的垂直平分线交于点M，N；

⑷连接AM，AN，CM，其中AN与CM交于点P.

根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中，

① $\overset{⌢}{B C} = 2 \overset{⌢}{N C}$ ； ② $A B = 2 A M$ ；

③点O是 $△ A B C$ 的外心； ④点P是 $△ A B C$ 的内心.

所有正确结论的序号是.

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三、解答题

17. 已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 的对称轴为 $x = 1$ ， $M (2 ， - 3)$ 是抛物线上一点，求该抛物线的解析式．

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18. 如图，等腰三角形ABC中，BA=BC，∠ABC=α. 作AD⊥BC于点D，将线段BD绕着点B顺时针旋转角α后得到线段BE，连接CE. 求证：BE⊥CE.

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19. 请完成下面题目的证明．如图，AB为⊙O的直径，AB=8，点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点，连接OC，AC，且∠BOC<90°，直线BC与直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD相交于点G，且∠GAF=∠GCE

(1)、求证：直线CG为⊙O的切线；

(2)、若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CB=CH；
①求证：△CBH∽△OBC；

②求OH+HC的最大值.

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20. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ $\overset{⌢}{A B}$ ），点 $O$ 是这段弧所在圆的圆心. $A B = 100 m$ ， C是 $\overset{⌢}{A B}$ 上一点， $O C ⊥ A B$ ，垂足为 $D$ ， $C D = 10 m$ ，求这段弯路的半径．

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21. 已知二次函数 $y = x^{2} - m x + m - 1$ 的图象与 $x$ 轴只有一个公共点.

(1)、求该二次函数的解析式；

(2)、当 $0 \leq x \leq 3$ 时，y的最大值为，最小值为.

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22. 如图，已知等边三角形ABC，O为△ABC内一点，连接OA，OB，OC，将△BAO绕点B旋转至△BCM.

(1)、依题意补全图形；

(2)、若OA= $\sqrt{2}$ ，OB= $\sqrt{3}$ ，OC=1，求∠OCM的度数.

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23. 如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，以BC为直径的半圆交AB于点D，O是该半圆所在圆的圆心，E为线段AC上一点，且ED=EA．

(1)、求证：ED是⊙O的切线；

(2)、若 $(1 ， + \infty)$ ，∠A=30°，求⊙O的半径.

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24. 悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸（或桥两端）的缆索（或钢链）作为上部结构主要承重构件的桥梁. 其缆索几何形状一般近似于抛物线.从缆索垂下许多吊杆（吊杆垂直于桥面），把桥面吊住.某悬索桥（如图1），是连接两个地区的重要通道. 图2是该悬索桥的示意图.小明在游览该大桥时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引. 他通过查找资料了解到此桥的相关信息：这座桥的缆索（即图2中桥上方的曲线）的形状近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即AB=CD，两个索塔均与桥面垂直. 主桥AC的长为600 m，引桥CE的长为124 m.缆索最低处的吊杆MN长为3 m，桥面上与点M相距100 m处的吊杆PQ长为13 m.若将缆索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息，建立适当的平面直角坐标系，求出索塔顶端D与锚点E的距离.

图2

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25. 探究函数

y = x | x - 2 |

的图象与性质．

小娜根据学习函数的经验，对函数 $y = x | x - 2 |$ 的图象与性质进行了探究．下面是小娜的探究过程，请补充完整：

(1)、下表是x与y的几组对应值．

x	…	$- 2$	$- 1$	0	$1$	2	$1 + \sqrt{2}$	3	…
y	…	$- 8$	$- 3$	0	m	n	$1$	3	…

请直接写出：m= ， n=；

(2)、如图，小娜在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中已经给出的各组对应值为坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出该函数的图象；

(3)、结合画出的函数图象，解决问题：若方程

x | x - 2 | = a

有三个不同的解，记为x₁ ， x₂ ， x₃ ，且x₁< x₂<x₃. 请直接写出x₁+ x₂+x₃的取值范围.

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26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与直线 $y = x + 1$ 交于A， B两点，其中点A在x轴上.

(1)、用含有b的代数式表示c；

(2)、① 若点B在第一象限，且 $A B = 3 \sqrt{2}$ ，求抛物线的解析式；
② 若 $A B \geq 3 \sqrt{2}$ ，结合函数图象，直接写出b的取值范围.

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27. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC， $45 ° < ∠ A C B < 60 °$ ，将点C关于直线AB对称得到点D，作射线BD与CA的延长线交于点E，在CB的延长线上取点F，使得BF=DE，连接AF.

备用图

(1)、依题意补全图形；

(2)、求证：AF=AE；

(3)、作BA的延长线与FD的延长线交于点P，写出一个∠ACB的值，使得AP=AF成立，并证明.

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28. 在平面内，C为线段AB外的一点，若以A，B，C为顶点的三角形为直角三角形，则称C为线段AB的直角点. 特别地，当该三角形为等腰直角三角形时，称C为线段AB的等腰直角点．

(1)、如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为 $(4 ， 0)$ ，在点P₁ $(0 ， - 1)$ ，P₂ $(5 ， 1)$ ，P₃ $(2 ， 2)$ 中，线段OM的直角点是；

(2)、在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为 $(1 ， 4)$ ， $(1 ， - 6)$ ，直线l的解析式为 $y = - x + 7$ ．
①如图2，C是直线l上的一个动点，若C是线段AB的直角点，求点C的坐标；

②如图3，P是直线l上的一个动点，将所有线段AP的等腰直角点称为直线l关于点A的伴随点.若⊙O的半径为r，且⊙O上恰有两个点为直线l关于点A的伴随点，直接写出r的取值范围．

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