山东省济南市章丘区2019-2020学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2019-12-05 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x > - 2}, B = {x | (x + 5) (x - 2) \leq 0}$ ,则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 2, + \infty)$ B、 $[- 2, 2]$ C、 $(- 2, 2]$ D、 $[- 5, + \infty)$

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2. 设 $\frac{z + i}{z} = i$ ,则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 命题“ $\exists x_{0} \in R, x_{0}^{2} + 2019 x_{0} + 2020 < 0$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \in R, x^{2} + 2019 x + 2020 < 0$ B、 $\forall x \in R, x^{2} + 2019 x + 2020 \leq 0$ C、 $\forall x \in R, x^{2} + 2019 x + 2020 \geq 0$ D、 $\exists x \in R, x^{2} + 2019 x + 2020 \geq 0$

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4. 设 $a$ 为非零实数,复数 $z_{1} = a + i, z_{2} = \frac{1}{a} - 2 i$ ,则 $| z_{1} \cdot z_{2} |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $3$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $9$

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5. 函数f(x)=x²+ $\frac{ln| x |}{2 x^{2}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 若 $t a n (α + \frac{π}{3}) = 2 \sqrt{3}$ ,则（）

A、 $\tan α = \frac{\sqrt{3}}{13}$ B、 $\tan α = \frac{3 \sqrt{3}}{7}$ C、 $\tan 2 α = \frac{23 \sqrt{3}}{7}$ D、 $\tan 2 α = \frac{7 \sqrt{3}}{23}$

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7. 在平行四边形 $A B C D$ 中, $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O, \vec{B O \cdot} (\vec{D C} - \vec{D B}) = 1, | \vec{B D} | = \sqrt{2}$ ,则 $\vec{D A}$ 在 $\vec{D B}$ 方向上的投影为（）

A、 $2$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $- 2$ D、 $- \sqrt{2}$

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8. 已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} - x + 2$ ，则“ $a \leq 2$ ”是“ $f (x)$ 在 $(2 ， 4)$ 上单调递增”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. $\forall x, y, z \in (0, + \infty), 4 x^{2} + y^{2} + \frac{1}{x y} \geq - z^{2} + 2 z + m$ ,则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 2 \sqrt{2} - 1]$ B、 $(- \infty, 3]$ C、 $(- \infty, 2]$ D、 $(- \infty, 4 \sqrt{2} - 1]$

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10. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (3 - 2 x) = f (2 x - 1)$ ,且 $f (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上单调递增,则（）

A、 $f (0. 2^{0.3}) < f (l o g_{3} 0.5) < f (4^{1.1})$ B、 $f (0. 2^{0.3}) < f (4^{1.1}) < f (l o g_{3} 0.5)$ C、 $f (4^{1.1}) < f ({0.2}^{0.3}) < f (l o g_{3} 0.5)$ D、 $f (l o g_{3} 0.5) < f ({0.2}^{0.3}) < f (4^{1.1})$

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二、多选题

11. 将曲线 $y = s i n^{2} x - \sqrt{3} s i n (π - x) s i n (x + \frac{3 π}{2})$ 上每个点的横坐标伸长为原来的 $2$ 倍(纵坐标不变)，得到 $g (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{3 π}{2}$ 对称 B、 $g (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的值域为 $[0 ， \frac{3}{2}]$ C、 $g (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 对称 D、 $g (x)$ 的图象可由 $y = c o s x + \frac{1}{2}$ 的图象向右平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度得到

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 2 x ， x \leq 0 \\ | l o g_{2} x | ， x > 0 \end{array}$ ，若 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = f (x_{4})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x_{1} + x_{2} = - 1$ B、 $x_{3} x_{4} = 1$ C、 $1 < x_{4} < 2$ D、 $0 < x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} < 1$

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13. 定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $(x + 1) f^{'} (x) - f (x) < x^{2} + 2 x$ 对 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立.下列结论正确的是（）

A、 $2 f (2) - 3 f (1) > 5$ B、若 $f (1) = 2 ， x > 1$ ，则 $f (x) > x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$ C、 $f (3) - 2 f (1) < 7$ D、若 $f (1) = 2 ， 0 < x < 1$ ，则 $f (x) > x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$

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三、填空题

14. 若向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 互相垂直,且 $| \vec{a} | = 1, | \vec{b} | = 2$ ,则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | =$ ．

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15. 若函数 $f (x) = x^{2} + 1 - \frac{k}{x}$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与直线 $x + 5 y - 1 = 0$ 垂直，则 $k =$ ．

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16. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数,当 $x < 0$ 时, $f (x) = 2 x + 1$ ,则 $f (x)$ 的解析式为．不等式 $f (x) < {(\frac{1}{2})}^{x - 1}$ 的解集为．

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17. $a, b, c$ 分别为 $Δ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边.已知 $a b c o s (A - B) = a^{2} + b^{2} - c^{2}$

(1)、 $t a n A t a n B =$ ．

(2)、若 $A = 45^{\circ}, a = 2$ ,则 $c =$ ．

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四、解答题。

18. $a, b, c$ 分别为 $Δ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边.已知 $A = \frac{π}{6}, s i n C = 4 \sqrt{3} s i n B$ .

(1)、若 $Δ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ,求 $b$ ;

(2)、若 $c^{2} - b^{2} = 47$ ,求 $Δ A B C$ 的周长.

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19. 已知 $A (4, 2), B (m, 1), C (2, 3), D (1, 6)$ .

(1)、若 $\vec{A B} / / \vec{C D}$ ,求 $c o s 〈 \vec{B D}, \vec{A C} 〉$ ;

(2)、若向量 $\vec{A B}, \vec{B C}, \vec{C D}$ 中存在互相垂直的两个向量,求 $m$ 的值.

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20. 尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如，地震释放出的能量 $E$ (单位:焦耳)与地震里氏震级 $M$ 之间的关系为 $l g E = 4.8 + 1.5 M$ .

(1)、已知地震等级划分为里氏 $12$ 级,根据等级范围又分为三种类型,其中小于 $2.5$ 级的为“小地震”,介于 $2.5$ 级到 $4.7$ 级之间的为“有感地震”,大于 $4.7$ 级的为“破坏性地震”若某次地震释放能量约 $10^{12}$ 焦耳，试确定该次地震的类型;

(2)、2008年汶川地震为里氏 $8$ 级,2011年日本地震为里氏 $9$ 级,问:2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍? (取 $\sqrt{10} = 3.2$ )

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1 + s i n x - c o s x}{1 + s i n x + c o s x} + \frac{1 + s i n x + c o s x}{1 + s i n x - c o s x}$

(1)、化简 $f (x)$ ,并求 $f (x)$ 的最小正周期;

(2)、若 $f (a) = 8$ ,求 $c o s 2 a$ ;

(3)、求 $f (x)$ 的单调递增区间.

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22. 已知二次函数 $f (x) = 4 k x^{2} - 4 k x + k + 1$ .

(1)、若 $x_{1} ， x_{2}$ 是 $f (x)$ 的两个不同零点，是否存在实数 $k$ ，使 $(2 x_{1} + x_{2}) (x_{1} + 2 x_{2}) = \frac{11}{4}$ 成立?若存在，求 $k$ 的值；若不存在，请说明理由.

(2)、设 $k = - 1$ ，函数 $g (x) = {\begin{array}{l} f (x) - 8 x - t ， x < 0 \\ 4 x^{2} - 8 x - t ， x \geq 0 \end{array}$ ，存在 $3$ 个零点.
(i)求 $t$ 的取值范围；

(ii)设 $m ， n$ 分别是这 $3$ 个零点中的最小值与最大值，求 $n - m$ 的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = e^{x} - 2 a x - a ， g (x) = l n x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、用 $m a x {m ， n}$ 表示 $m ， n$ 中的最大值，若函数 $h (x) = m a x {f (x) ， g (x)} (x > 0)$ 只有一个零点，求 $a$ 的取值范围.

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