山东省德州市2019-2020学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2019-12-05 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | y = \sqrt{1 - x}}$ ， $B = {x | (x + 1) (x - 3) < 0}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $[1, 3)$ B、 $(1, 3)$ C、 $(- 1, 0] \cup [1, 3)$ D、 $(- 1, 0] \cup (1, 3)$

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2. 命题“ $\exists x > 0$ ， $\ln x < 0$ ”的否定为（）

A、 $\exists x > 0$ ， $\ln x \geq 0$ B、 $\forall x \leq 0$ ， $\ln x \geq 0$ C、 $\forall x > 0$ ， $\ln x > 0$ D、 $\forall x > 0$ ， $\ln x \geq 0$

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3. 若 $\log_{a} \frac{1}{3} < 1$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{3})$ B、 $(\frac{1}{3}, 1)$ C、 $(0, \frac{1}{3}) \cup (1, + \infty)$ D、 $(0, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, + \infty)$

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4. 三角函数是刻画客观世界周期性变化规律的数学模型，单位圆定义法是任意角的三角函数常用的定义方法，是以角度（数学上最常用弧度制）为自变量，任意角的终边与单位圆交点坐标为因变量的函数．平面直角坐标系中的单位圆指的是平面直角坐标系上，以原点为圆心，半径为单位长度的圆．已知角 $α$ 的终边与单位圆的交点为 $P (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ ，则 $\cos (π + α) + \sin (- α) =$ （）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $- \frac{7}{5}$ D、 $\frac{7}{5}$

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5. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为单位向量，设 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ - $\vec{a}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2}{3} π$ D、 $\frac{5}{6} π$

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6. 已知某函数图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（）

A、 $y = \frac{x^{2}}{2^{| x |}}$ B、 $y = 2 - 2^{| x |}$ C、 $y = x - e^{| x |}$ D、 $y = x^{2} - 2^{| x |}$

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7. 函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象与 $x$ 轴交点的横坐标构成一个公差为 $\frac{π}{2}$ 的等差数列，要得到函数 $g (x) = 2 \sin (ω x - \frac{π}{2})$ 的图象，只需将函数 $f (x)$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位长度 D、向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度

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8. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 7$ ， $S_{6} = 63$ ，则数列 ${n a_{n}}$ 的前 $2020$ 项和为（）

A、 $- 3 + 2021 \times 2^{2020}$ B、 $3 + 2019 \times 2^{2020}$ C、 $1 + 2021 \times 2^{2020}$ D、 $1 + 2019 \times 2^{2020}$

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9. 中华人民共和国国歌有 $84$ 个字， $37$ 小节，奏唱需要 $46$ 秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度 $15 °$ 的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 $60 °$ 和 $30 °$ ，第一排和最后一排的距离为 $10 \sqrt{2}$ 米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（）（米/秒）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{23}$ B、 $\frac{5 \sqrt{3}}{23}$ C、 $\frac{7 \sqrt{3}}{23}$ D、 $\frac{8 \sqrt{3}}{23}$

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10. 非零向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且满足 $| \vec{n} | = λ | \vec{m} | (λ > 0)$ ，向量组 $\vec{x_{1}}$ ， $\vec{x_{2}}$ ， $\vec{x_{3}}$ 由两个 $\vec{m}$ 和一个 $\vec{n}$ 排列而成，向量组 $\vec{y_{1}}$ ， $\vec{y_{2}}$ ， $\vec{y_{3}}$ 由一个 $\vec{m}$ 和两个 $\vec{n}$ 排列而成，若 $\vec{x_{1}} \cdot \vec{y_{1}} + \vec{x_{2}} \cdot \vec{y_{2}} + \vec{x_{3}} \cdot \vec{y_{3}}$ 所有可能值中的最大值为 $\frac{5}{2} {\vec{m}}^{2}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $3$ D、 $4$

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二、多选题

11. 对于实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，下列命题中正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c < b c$ ； B、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} > a b > b^{2}$ C、若 $c > a > b > 0$ ，则 $\frac{a}{c - a} > \frac{b}{c - b}$ D、若 $a > b$ ， $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ，则 $a > 0$ ， $b < 0$

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12. 已知向量 $\vec{m} = (\sin x, - \sqrt{3})$ ， $\vec{n} = (\cos x, \cos^{2} x)$ ，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，下列命题，说法正确的选项是（）

A、 $y = f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6}, 0)$ 对称 C、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 D、 $y = f (x)$ 的单调增区间为 $[2 k π - \frac{π}{12}, 2 k π + \frac{5 π}{12}] (k \in Z)$

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13. 对于函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x^{2}}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $x = \sqrt{e}$ 处取得极大值 $\frac{1}{2 e}$ B、 $f (x)$ 有两个不同的零点 C、 $f (\sqrt{2}) < f (\sqrt{π}) < f (\sqrt{3})$ D、若 $f (x) < k - \frac{1}{x^{2}}$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，则 $k > \frac{e}{2}$

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三、填空题

14. 函数 $f (x) = (1 - 3 x) \cdot e^{x}$ 在点 $P (0, f (0))$ 处的切线方程为．

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15. 已知向量 $\vec{a} = (1, x + 1)$ ， $\vec{b} = (x, 2)$ ，若满足 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，且方向相同，则 $x =$ ．

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16. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} > 0$ ，且 $a_{3} a_{2 n - 3} = 10^{2 n} (n \geq 2)$ ，则当 $n > 1$ 时， $\lg a_{1} + \lg a_{3} + \dots + \lg a_{2 n - 1} =$ ．

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17. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x - 1 | ， x \in (0 ， 2] ， \\ \min {| x - 1 | ， | x - 3 |} ， x \in (2 ， 4] ， \\ \min {| x - 3 | ， | x - 5 |} ， x \in (4 ， + \infty) ， \end{array}$ 其中 $\min {a ， b}$ 表示 $a$ ， $b$ 中较小的数．

(1)、若 $f (x) = a$ 有且只有一个实根，则实数 $a$ 的取值范围是；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x - T) = f (x) (T > 0)$ 有且只有三个不同的实根，则实数 $T$ 的取值范围是．

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四、解答题

18. 已知集合 $A = {x | x^{2} - (2 a - 2) x + a^{2} - 2 a \leq 0}$ ， $B = {x | x^{2} - 5 x + 4 \leq 0}$ ．

(1)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件，求 $a$ 的取值范围．

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19. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A D C = \frac{2 π}{3}$ ， $A D = \sqrt{3}$ ， $\sin ∠ B C D = \frac{2}{3}$ ，连接 $B D$ ， $3 B D = 4 B C$ ．

(1)、求 $∠ B D C$ 的值；

(2)、若 $B D = 1$ ， $∠ A E B = \frac{π}{3}$ ，求 $Δ A B E$ 的面积最大值．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 a \ln x - (a + 2) x$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、是否存在实数 $a$ ，使函数 $g (x) = f (x) + a x + \frac{4}{9} x^{3}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增？若存在，求出 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $2 S_{n} = a_{n}^{2} + a_{n} - 2$ ，且 $a_{n} > 0 (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{5^{n} (4 n - 1)}{n a_{n}} (n \in N^{*})$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} \geq \frac{15}{2}$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = - x^{3} + 6 a x^{2} - 9 a^{2} x (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $a \geq 1$ 时，若 $\forall x \in [0 ， 2]$ ，都有 $f (x) \geq - 8$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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23. 某辆汽车以 $x$ 千米/小时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求 $60 \leq x \leq 120$ ）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为 $\frac{1}{5} (x - k + \frac{3600}{x})$ 升，其中 $k$ 为常数，且 $48 \leq k \leq 100$ ．

(1)、若汽车以 $120$ 千米/小时的速度行驶时，每小时的油耗为 $10$ 升，欲使每小时的油耗不超过 $7.2$ 升，求 $x$ 的取值范围；

(2)、求该汽车行驶 $100$ 千米的油耗的最小值．

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