江苏省无锡市宜兴市宜城环科园联盟2020届九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2019-12-05 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列方程是一元二次方程的是（）

A、x $^{2}$ －2x－1＝0 B、 $\frac{1}{x^{2}}$ ＝1 C、(x－1) $^{2}$ ＋y $^{2}$ ＝2 D、(x－1)(x－3)＝x $^{2}$

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2. 若关于x的方程x²－4x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值是（）

A、1 B、2 C、4 D、±4

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3. 某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（）．

A、20% B、40% C、18% D、36%

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4. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A=40°，则∠C=（）

A、110° B、120° C、135° D、140°

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5. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，则∠BAD为（）

A、30° B、50° C、60° D、70°

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6. 如图，在⊙ $O$ 中，半径 $O C$ 垂直弦 $A B$ 于 $D$ ，点 $E$ 在⊙ $O$ 上， $∠ E ＝ {22.5}^{°} ， A B ＝ 2$ ，则半径 $O B$ 等于（）

A、 $1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2$ D、 $2 \sqrt{2}$

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7. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ 相似的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图， $A D / / B E / / C F$ ，直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 与这三条平行线分别交于点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 和点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ .已知 $A B = 1$ ， $B C = 3$ ， $D E = 1.2$ ，则 $D F$ 的长为（）

A、3.6 B、4.8 C、5 D、5，2

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9. 如图，在 $Δ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别在 $A B$ ， $A C$ 边上， $D E / / B C$ ， $∠ A C D = ∠ B$ ，若 $A D = 2 B D$ ， $B C = 6$ ，则线段 $C D$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、5

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10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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二、填空题

11. 在1：500000的无锡市地图上，新建的地铁线估计长5cm，那么等地铁造好后实际长约为千米.

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12. 若方程（m+2）x²+5x﹣7=0是关于x的一元二次方程，则m≠.

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13. 已知⊙O的半径为5，若圆心O到弦AB的距离为3，则AB＝.

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14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上的一点，CD⊥AB于D，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为.

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15. 如图，AD是⊙O的直径， $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{C D}$ ，若∠AOB＝40º，则圆周角∠BPC＝.

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16. 如图， $Δ O A B$ 与 $Δ O C D$ 是以点 $O$ 为位似中心的位似图形，相似比为 $3 ： 4$ ， $∠ O C D = 90^{\circ}$ ， $∠ A O B = 60^{\circ}$ ，若点 $B$ 的坐标是 $(6 ， 0)$ ，则点 $C$ 的坐标是.

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17. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 3 A B = 3 \sqrt{10}$ ，点 $P$ 是 $A D$ 的中点，点 $E$ 在 $B C$ 上， $C E = 2 B E$ ，点 $M$ 、 $N$ 在线段 $B D$ 上.若 $Δ P M N$ 是等腰三角形且底角与 $∠ D E C$ 相等，则 $M N =$ .

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18. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 1$ ， $B C = a$ ，点E在边BC上，且 $B E = \frac{3}{5} α$ .连接AE，将 $Δ A B E$ 沿AE折叠，若点B的对应点 $B^{'}$ 落在矩形ABCD的边上，则a的值为.

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三、解答题

19. 解方程：

(1)、(x-1)²＝4

(2)、x²－3x－2＝0

(3)、x²＋6x＝7

(4)、2(x²－x)－(x－1)(x＋3)＋1＝0

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20. 已知关于x的一元二次方程(a－3)x²＋x＋a²―a―6＝0的一个根是0，试解方程(a²－1)x²＋ax―1＝0.

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21. 为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为 $200$ 元时，每天可售出 $300$ 个；若销售单价每降低 $1$ 元，每天可多售出 $5$ 个．已知每个电子产品的固定成本为 $100$ 元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利 $32000$ 元？

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22. 如图

(1)、如图1，网格中每个小正方形的边长为1，点A，B均在格点上.则线段AB的长为.请借助网格，仅用无刻度的直尺在AB上作出点P，使AP＝ $\frac{4 \sqrt{5}}{3}$ .

(2)、⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，依下列条件分别在图2，图3的圆中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法，请下结论注明你所画的弦）.
①如图2，AC＝BC；

②如图3，P为圆上一点，直线l⊥OP且l∥BC.

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23. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.

(1)、求证：△ABM∽△EFA；

(2)、若AB＝12，BM＝5，求DE的长.

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24. 如图，在平面直角坐标系中，以点M（0， $\sqrt{3}$ ）为圆心，以 $2 \sqrt{3}$ 长为半径作⊙M交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，连接AM并延长交⊙M于P点，连接PC交x轴于E.

(1)、求出CP所在直线的解析式；

(2)、连接AC，请求△ACP的面积.

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25. 在解决数学问题时，我们常常从特殊入手，猜想结论，并尝试发现解决问题的策略与方法.
【问题提出】

求证：如果一个定圆的内接四边形对角线互相垂直，那么这个四边形的对边的平方和是一个定值.

(1)、【从特殊入手】
我们不妨设定圆O的半径是R，⊙O的内接四边形ABCD中，AC⊥BD.

请你在图①中补全特殊殊位置时的图形，并借助于所画图形探究问题的结论.

(2)、【问题解决】
已知：如图②，定圆⊙O的半径是R，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， AC⊥BD.

求证：

证明：

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26. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P是边AB上的一动点，连结DP.

(1)、若将△DAP沿DP折叠，点A落在矩形的对角线上点A′处，试求AP的长；

(2)、点P运动到某一时刻，过点P作直线PE交BC于点E，将△DAP与△PBE分别沿DP与PE折叠，点A与点B分别落在点A′，B′处，若P，A′，B′三点恰好在同一直线上，且A′B′＝2，试求此时AP的长；

(3)、当点P运动到边AB的中点处时，过点P作直线PG交BC于点G，将△DAP与△PBG分别沿DP与PG折叠，点A与点B重合于点F处，连结CF，请求出CF的长.

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