江苏省无锡市江阴市青阳片2020届九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2019-12-05 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列方程是一元二次方程的是（）

A、x+2y＝1 B、x+y²＝1 C、 $3 x + \frac{1}{x} = 4$ D、x²﹣2＝0

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2. 如图，点P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中不能判定△ABP∽△ACB的是（）

A、 $\frac{A B}{A P} = \frac{A C}{A B}$ B、 $\frac{A C}{A B} = \frac{B C}{B P}$ C、∠ABP＝∠C D、∠APB＝∠ABC

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3. 下列一元二次方程没有实数根的是（）

A、 $x^{2} + \sqrt{3} x - 1 = 0$ B、x²﹣3＝0 C、2x²+x+1＝0 D、2x²﹣3x+1＝0

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4. 下列说法：①有一个角为50°的两个等腰三角形相似；②有一个角为100°的两个等腰三角形相似；③有一个锐角相等的两个直角三角形相似；④两个等边三角形相似．其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 用配方法将方程x²+4x﹣4＝0化成（x+m）²＝n的形式，则m，n的值是（）

A、﹣2，0 B、2，0 C、﹣2，8 D、2，8

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6. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于⊙ $O$ ，连接 $O A ， O C$ .若 $O A ∥ C B$ ， $∠ B C O = 70 °$ .则∠ABC的度数为（）

A、110° B、120° C、125° D、135°

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7. m是方程x²+x﹣1=0的根，则式子2m²+2m+2017的值为（）

A、2016 B、2017 C、2018 D、2019

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8. 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 在一幅长 $80 c m$ ，宽 $50 c m$ 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是 $5400 c m^{2}$ ，设金色纸边的宽为 $x c m$ ，那么 $x$ 满足的方程是（）

A、 $x^{2} + 130 x - 1400 = 0$ B、 $x^{2} + 65 x - 350 = 0$ C、 $x^{2} - 130 x - 1400 = 0$ D、 $x^{2} - 65 x - 350 = 0$

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10. 如图，长方形ABCD中，AB=4，AD=3，E是边AB上一点(不与A.B重合)，F是边BC上一点(不与B.C重合).若△DEF和△BEF是相似三角形，则CF的长度为（）.

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ 或 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$ 或1

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二、填空题

11. A城市的新区建设规划图上，新城区的南北长为120cm，而该新城区的实际南北长为6km，则新区建设规划图所采用的比例尺是.

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12. 已知方程x²+kx+2＝0的一个根是﹣1，则k的值为.

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13. 若 $\frac{a + b}{b} = \frac{6}{5}$ ，则 $\frac{a}{b}$ ＝.

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14. 电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图：若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少m处．（结果精确到0.1m）

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15. 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB=38°，则∠P=°.

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16. 九年级学生在毕业前夕，某班每名同学都为其他同学写一段毕业感言，全班共写了2256段毕业感言，如果该班有x名同学，根据题意列出方程为.

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17. 如图，△ABC 中，已知AB=8，BC=5，AC=7，则它的内切圆的半径为 .

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18. 如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是.

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三、解答题

19. 解方程.

(1)、（x﹣3）²﹣25＝0

(2)、x²﹣x＝3x﹣1（用配方法解）

(3)、2（2x﹣3）＝3x（2x﹣3）

(4)、3x²﹣4x﹣2＝0

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20. 如图，D是△ABC的边AB上的一点，BD＝ $\frac{4}{3}$ ，AB＝3，BC＝2

(1)、△BCD与△BAC相似吗？请说明理由.

(2)、若CD＝ $\frac{5}{3}$ ，求AC的长.

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21. 已知：关于x的方程 $x^{2} - (m + 1) x + 2 m - 3 = 0$

(1)、求证：不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根

(2)、若方程的一个根为1，求m的值及方程的另一根

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22. 如图，Rt△APE，∠AEP＝90°，以AB为直径的⊙，O交PE于C，且AC平分∠EAP.连接BC，PB：PC＝1：2.

(1)、求证：PE是⊙O的切线；

(2)、已知⊙O的半径为 $\frac{5}{2}$ ，求AE的长.

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23. 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．

(1)、请你补全这个输水管道的圆形截面；

(2)、若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．

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24. 如图，矩形ABCD ， AB＝6cm ， AD＝2cm ，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以lcm/s的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．

(1)、问两动点运动几秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的 $\frac{4}{9}$ ；

(2)、问两动点经过多长时间使得点P与点Q之间的距离为 $\sqrt{5}$ ？若存在，
求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．

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25. 已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，P(3，4)为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分。
问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似(注：在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标).

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26. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $A$ 在以 $B C$ 为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．

(1)、在图1中作弦 $E F$ ，使 $E F / / B C$ ；

(2)、在图2中以 $B C$ 为边作一个45°的圆周角．

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27. 某厂家授权一淘宝卖家销售该厂生产的儿童写字台，双方就每套写字台的进价与销售达成如下协议：若当月仅售出1套写字台，则写字台的进价为800元/套，在此基础上，每多售出1套，进价就降低10元/套（即售出2套时，进价为790元/套，依此类推），但每套进价不低于500元.月底厂家将一次性返利付给淘宝卖家，当月所售写字台可返利50元/套.

(1)、若该淘宝卖家当月售出5套，则每套写字台的进价为元；

(2)、若该淘宝卖家当月售出x套，则每套写字台的进价为元多少（用含x的代数式表示）.

(3)、如果写字台的销售价为1200元，该卖家计划当月盈利9600元，那么要卖出多少套写字台？（盈利＝销售利润+返利）

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28. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC边的中点，点P在线段AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA＝x.

(1)、求证：△PFA∽△ABE；

(2)、当点P在线段AD上运动时，设PA＝x，是否存在实数x，使得以点P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；

(3)、探究：当以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时，请直接写出x满足的条件：.

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