2017年山东省潍坊市青州市高考数学热身试卷（理科）

试卷更新日期：2017-07-22 类型：高考模拟

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一、选择题：

1. 设全集U={x|e^x＞1}，函数f（x）= $\frac{1}{\sqrt{x - 1}}$ 的定义域为A，则∁_UA为（）

A、（0，1] B、（0，1） C、（1，+∞） D、[1，+∞）

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2. 复数z的共轭复数为 $\bar{z}$ ，若 $\frac{1 - i}{z \cdot \bar{z} + i}$ 为纯虚数，则|z|=（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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3. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} l o g_{2} x ， x > 0 \\ 9^{- x} + 1 ， x \leq 0 \end{matrix}$ ，则f（f（1））+f（log₃ $\frac{1}{2}$ ）的值是（）

A、7 B、2 C、5 D、3

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4. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为16，28，则输出的a=（）

A、0 B、2 C、4 D、14

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5. 下列命题中真命题的是（）
①若p∧q是假命题，则p，q都是假命题；
②命题p：4＜r＜7，命题q：圆（x﹣3）²+（y+5）²=r²（r＞0）上恰好有两个点到直线4x﹣3y=2的距离等于l，则p是q的必要不充分条件；
③若p：x≤1，q： $\frac{1}{x}$ ＜1，则￢p是q的充分不必要条件．
④设随机变量X服从正态分布N（3，7），若P（X＞C+1）=P（X＜C﹣1），则C=7．

A、①③ B、③④ C、①② D、②③

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6. 已知P是△ABC所在平面内一点， $\vec{P B} + \vec{P C} + 2 \vec{P A} = \vec{0}$ ，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. 设x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} y \leq x + 1 \\ y \geq 2 x - 1 \\ x \geq 0 ， y \geq 0 \end{matrix}$ ，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为11，则a+b的最小值为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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8. 如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，∠ACB=45°，∠ADB=30°，∠BCD=120°，CD=40，则AB=（　　）

A、10 B、20 C、30 D、40

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9. 已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F₁F₂ ，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形．若|PF₁|=10，记椭圆与双曲线的离心率分别为e₁ ， e₂ ，则e₁•e₂的取值范围是（）

A、（ $\frac{1}{3}$ ，+∞） B、（ $\frac{1}{5}$ ，+∞） C、（ $\frac{1}{9}$ ，+∞） D、（0，+∞）

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10. 设函数 $g (x) = (- x^{4} - x^{2}) + \frac{1}{e^{| x |} - 1}$ ，若不等式g（x²）＞g（ax）对一切x∈[﹣1，0）∪（0，1]恒成立，则a的取值范围是（）

A、（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B、（﹣1，1） C、（﹣1，+∞） D、（1，+∞）

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二、填空题

11. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2) ， \vec{b} = (2 ， m) ， \vec{c} = (7 ， 1)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $\vec{b} \cdot \vec{c}$ = ．

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12. 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有18件，那么此样本的容量n= ．

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13. 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是．

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14. 若 $(x + 3) {(1 - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中常数项为43，则 $\int_{2}^{n} 2 x d x =$ ．

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15. 对于函数y=f（x），如果存在区间[m，n]，同时满足下列条件：
⑴f（x）在[m，n]上是单调的；
⑵当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．若函数f（x）= $\frac{a + 1}{a}$ ﹣ $\frac{1}{x}$ （a＞0）存在“和谐区间”，则实数a的取值范围是．

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三、解答题：

16. 已知函数f（x）=2 $\sqrt{3}$ sin（π﹣x）cosx+2cos²x+a﹣1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{3}$ ]上的最大值与最小值的和为2，求a的值．

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17. 某省高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“3+3”的构成模式，第一个“3”是语文、数学、外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分．为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，将“某市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体S，从学生群体S中随机抽取了50名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如表：
选考物理、化学、生物的科目数
1
2
3
人数
5
25
20
（I）从所调查的50名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率；
（II）从所调查的50名学生中任选2名，记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望；
（III）将频率视为概率，现从学生群体S中随机抽取4名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y，求事件“y≥2”的概率．

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18. 在正三角形ABC中，E、F、P分别是﹣AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁﹣EF﹣B成直二面角，连结A₁B、A₁P（如图2）．

(1)、求证：A₁E⊥平面BEP；

(2)、求二面角B一A₁P一F的余弦值的大小．

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19. 已知数列{a_n}是递增的等比数列，且a₁+a₄=9，a₂a₃=8．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设S_n为数列{a_n}的前n项和，b_n= $\frac{a_{n + 1}}{S_{n} S_{n + 1}} + {(- 1)}^{n} l o g_{2} a_{n + 1}$ ，求数列{b_n}的前n项和T_n ．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0），O是坐标原点，F₁ ， F₂分别为其左右焦点，|F₁F₂|=2 $\sqrt{3}$ ，M是椭圆上一点，∠F₁MF₂的最大值为 $\frac{2}{3}$ π
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于P，Q两点，且OP⊥OQ
（i）求证： $\frac{1}{{| O P |}^{2}} + \frac{1}{{| O Q |}^{2}}$ 为定值；
（ii）求△OPQ面积的取值范围．

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21. 已知函数f（x）=lnx+ $\frac{a}{x}$ ﹣1，a∈R．

(1)、若关于x的不等式f（x）≤ $\frac{1}{2}$ x﹣1在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；

(2)、设函数g（x）= $\frac{f (x)}{x}$ ，若g（x）在[1，e²]上存在极值，求a的取值范围，并判断极值的正负．

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选考物理、化学、生物的科目数	1	2	3
人数	5	25	20