2017年山东省临沂市高考数学三模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-07-22 类型：高考模拟

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一、选择题：

1. 已知i是虚数单位， $\bar{z}$ 是z的共轭复数， $(2 - i) \bar{z} = 3 - 4 i$ ，则z的虚部为（）

A、1 B、﹣1 C、i D、﹣i

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2. 已知集合M= ${x | y = \sqrt{x - 2}}$ ，集合N={x|y=log₂（3﹣x）}，则∁_R（M∩N）=（）

A、[2，3） B、（﹣∞，2]∪（3，+∞） C、[0，2） D、（﹣∞，2）∪[3，+∞）

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3. 已知log_ax＞log_ay（0＜a＜1），则下列不等式成立的是（）

A、3^x^﹣^y＜1 B、lnx＞lny C、sin x＞sin y D、x³＞y³

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4. 下列说法中正确的是（）

A、当a＞1时，函数y=a^x是增函数，因为2＞l，所以函数y=2^x是增函数．这种推理是合情推理 B、在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c，将此结论放到空间中也是如此．这种推理是演绎推理 C、若分类变量X与Y的随机变量K²的观测值k越小，则两个分类变量有关系的把握性越小 D、 $\int_{- 1}^{1} x^{3} d x = \frac{1}{2}$

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5. 为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，分数不低于a即为优秀，如果优秀的人数为82人，则a的估计值是（）

A、130 B、140 C、133 D、137

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6. 变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + 2 y - 2 \geq 0 \\ 2 x + y - 4 \leq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \end{matrix}$ ，则目标函数z=3|x|+|y﹣2|的取值范围是（）

A、[1，8] B、[3，8] C、[1，3] D、[1，6]

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7. 已知边长为 $2 \sqrt{2}$ 的正方形ABCD的四个顶点都在球心为O的球面上，若球O的体积为36π，则直线OA与平面ABCD所成的角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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8. 若等边三角形ABC的边长为12，平面内一点M满足 $\vec{C M} = \frac{3}{4} \vec{C A} + \frac{1}{3} \vec{C B}$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{B M}$ =（）

A、﹣26 B、﹣27 C、﹣28 D、﹣29

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9. 已知函数f（x）=sinωx+ $\sqrt{3} c o s ω x (ω > 0)$ ，当f（x₁）=f（x₂）=2时，|x₁﹣x₂|的最小值为2，给出下列结论，其中所有正确结论的个数为（）
①f（0）= $\frac{π}{3}$ ；
②当x∈（0，1）时，函数f（x）的最大值为2；
③函数 $f (x + \frac{1}{6})$ 的图象关于y轴对称；
④函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数．

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 斜率为2的直线l与椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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二、填空题：

11. 阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出k的值为．

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12. 若命题“∃x∈R，|x+1|+|x﹣a|＜4”是真命题，则实数a的取值范围是．

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13. 我国齐梁时代的数学家祖暅（公元前5﹣6世纪，祖冲之之子）提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”，这个原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体，如图，将底面直径都为2b，高皆为a的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d处的平面截这两个几何体，可横截得到S_圆及S_环两截面，可以证明S_圆=S_环总成立．据此，短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，长轴为5的椭球体的体积是．

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14. 若直线l：x+2y=0与圆C：（x﹣a）²+（y﹣b）²=10相切，且圆心C在直线l的上方，则ab的最大值为．

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15. 若函数f（x）=x+ln $\sqrt{x}$ 在区间[a，b]的值域为[ta，tb]，则实数t的取值范围是．

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三、解答题：

16. 在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且 $\frac{t a n C}{t a n B} = - \frac{c}{2 a + c}$ ．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b=2 $\sqrt{3}$ ，a+c=4，求△ABC的面积．

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17. 如图，点E是菱形ABCD所在平面外一点，EA⊥平面ABCD，EA∥FB∥GD，∠ABC=60°，EA=AB=2BF=2GD．
（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面ECG；
（Ⅱ）求二面角B﹣EC﹣F的余弦值．

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18. 某中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校1400名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得一组样本的身高（单位：cm）频数分布表如表1、表2．
表1：男生身高频数分布表
身高（cm）
[160，165）
[165，170）
[170，175）
[175，180）
[180，185）
[185，190）
频数
2
5
11
4
5
3
表2：女生身高频数分布表
身高（cm）
[150，155）
[155，160）
[160，165）
[165，170）
[170，175）
[175，180）
频数
2
8
15
12
2
1
（Ⅰ）估计该校高一女生的人数：
（Ⅱ）估计该校学生身高在[165，180）的概率；
（Ⅲ）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X表示身高在[165，180）的学生人数，求X的分布列及数学期望EX．

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19. 已知数列{a_n}，{b_n}，S_n为{a_n}的前n项和，且满足S_n₊₁=S_n+a_n+2n+2，若a₁=b₁=2，b_n₊₁=2b_n+1，n∈N^* ．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n= $\frac{3 a_{n}}{n (b_{n} + 1)}$ ，求数列{c_n}的前n项和T_n ．

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20. 已知函数f（x）=e^x+ax²﹣bx﹣1（a，b∈R，e为自然对数的底数）．
（I）设f（x）的导函数为g（x），求g（x）在区间[0，l]上的最小值；
（II）若f（1）=0，且函数f（x）在区间（0，1）内有零点，证明：﹣1＜a＜2﹣e．

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21. 已知双曲线C₁： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的渐近线方程为y=± $\sqrt{3}$ x，且过点 $M (\sqrt{2} ， \sqrt{3})$ ，其离心率为e，抛物线C₂的顶点为坐标原点，焦点为 $(\frac{e}{2} ， 0)$ ．
（Ⅰ）求抛物线C₂的方程；
（Ⅱ）O为坐标原点，设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ =12．
（i）求证：直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标；（ii）过点P作AB的垂线与抛物线交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．

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身高（cm）	[160，165）	[165，170）	[170，175）	[175，180）	[180，185）	[185，190）
频数	2	5	11	4	5	3

身高（cm）	[150，155）	[155，160）	[160，165）	[165，170）	[170，175）	[175，180）
频数	2	8	15	12	2	1