2017年黑龙江省鸡西市虎林市高考数学模拟试卷（理科）

试卷更新日期：2017-07-22 类型：高考模拟

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一、选择题：

1. 已知i为虚数单位，复数z满足z（1﹣i）=1+i，则z的共轭复数是（）

A、1 B、﹣1 C、i D、﹣i

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2. 集合M={x|1＜x+1≤3}，N={x|x²﹣2x﹣3＞0}，则（∁_RM）∩（∁_RN）等于（）

A、（﹣1，3） B、（﹣1，0）∪（2，3） C、（﹣1，0]∪[2，3） D、[﹣1，0]∪（2，3]

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3. 若2^x+2^y=1，则x+y的取值范围是（）

A、[0，2] B、[﹣2，0] C、[﹣2，+∞） D、（﹣∞，﹣2]

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4. 一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a_n}，若a₃=8，且a₁ ， a₃ ， a₇成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（　）

A、13，12 B、13，13 C、12，13 D、13，14

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5. 如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A、2π+8 B、8π+8 C、4π+8 D、6π+8

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6. 设函数f（x）= ${\begin{matrix} 2 x + 1 ， x < 1 \\ 3^{x} ， x \geq 1 \end{matrix}$ ，则满足f（f（m））=3^f^（^m^）的实数m的取值范围是（）

A、（﹣∞，0）∪{﹣ $\frac{1}{2}$ } B、[0，1] C、[0，+∞）∪{﹣ $\frac{1}{2}$ } D、[1，+∞）

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7. 某公司将5名员工分配至3个不同的部门，每个部门至少分配一名员工，其中甲、乙两名员工必须分配在同一个部门的不同分配方法数为（）

A、24 B、30 C、36 D、42

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8. 执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2.5，则输出的P值为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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9. 设实数x、y满足不等式组 ${\begin{matrix} x + 2 y - 5 > 0 \\ 2 x + y - 7 > 0 \\ x \geq 0 ， y \geq 0 \end{matrix}$ ，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（）

A、14 B、16 C、17 D、19

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10. 已知三角形△ABC的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则这个三角形的周长为（）

A、15 B、18 C、21 D、24

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11. 以O为中心，F₁ ， F₂为两个焦点的椭圆上存在一点M，满足 $| \vec{M F_{1}} | = 2 | \vec{M O} | = 2 | \vec{M F_{2}} |$ ，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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12. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} | x + 2 | ， x \leq 0 \\ | l o g_{2} x | ， x > 0 \end{matrix}$ 若关于x的方程f（x）=a有四个不同的解x₁ ， x₂ ， x₃ ， x₄ ，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄ ，则x₃（x₁+x₂）+ $\frac{1}{x_{3}^{2} x_{4}}$ 的取值范围是（）

A、（﹣3，+∞） B、（﹣∞，3） C、[﹣3，3） D、（﹣3，3]

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ =（1，2）， $\vec{b}$ =（4，3），且 $\vec{a}$ ⊥（t $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ），则实数t= ．

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14. 若直线x+ay﹣1=0与2x﹣4y+3=0垂直，则二项式（ax²﹣ $\frac{1}{x}$ ）⁵的展开式中x的系数为．

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15. 2017年1月27日，哈尔滨地铁3号线一期开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站和哈尔滨大街．每人只能去一个地方，哈西站一定要有人去，则不同的游览方案为．

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16. 若数列{a_n}是正项数列，且 $\sqrt{a_{1}}$ + $\sqrt{a_{2}}$ +…+ $\sqrt{a_{n}}$ =n²+3n（n∈N^*），则 $\frac{a_{1}}{2}$ + $\frac{a_{2}}{3}$ +…+ $\frac{a_{n}}{n + 1}$ = ．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{6}) + c o s 2 x$ ．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知 $f (A) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，a=2， $B = \frac{π}{3}$ ，求△ABC的面积．

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18. 在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁为矩形，AB= $\sqrt{2}$ ，AA₁=2，D为AA₁的中点，BD与AB₁交于点O，CO⊥侧面ABB₁A₁ ．

(1)、证明：CD⊥AB₁；

(2)、若OC=OA，求直线C₁D与平面ABC所成角的正弦值．

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19. 对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
分组
频数
频率
[10，15）
10
0.25
[15，20）
25
n
[20，25）
m
p
[25，30）
2
0.05
合计
M
1

(1)、求出表中M、p及图中a的值；

(2)、试估计他们参加社区服务的平均次数；

(3)、在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至少1人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率．

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20. 定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆C₁与椭圆C₂是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆C₁： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长是4，椭圆C₂： $\frac{y^{2}}{m^{2}} + \frac{x^{2}}{n^{2}} = 1 (m > n > 0)$ 短轴长是1，点F₁ ， F₂分别是椭圆C₁的左焦点与右焦点，
（Ⅰ）求椭圆C₁ ， C₂的方程；
（Ⅱ）过F₁的直线交椭圆C₂于点M，N，求△F₂MN面积的最大值．

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21. 已知函数f（x）=lnx+x²﹣2ax+1（a为常数）

(1)、讨论函数f（x）的单调性；

(2)、若对任意的a∈（1， $\sqrt{2}$ ），都存在x₀∈（0，1]使得不等式f（x₀）+lna＞m（a﹣a²）成立，求实数m的取值范围．

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22. 在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，曲线C的参数方程 ${\begin{matrix} x = \sqrt{3} c o s α \\ y = s i n α \end{matrix}$ （α为参数）
（Ⅰ）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标 $(2 \sqrt{2} ， \frac{3 π}{4})$ ，判断点P与直线l的位置关系；
（Ⅱ）设点Q为曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

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23. 已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+a|， $g (x) = \frac{1}{2} x + 3$

(1)、当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；

(2)、若a＞﹣1，且当x∈[﹣a，1]时，不等式f（x）≤g（x）有解，求实数a的取值范围．

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分组	频数	频率
[10，15）	10	0.25
[15，20）	25	n
[20，25）	m	p
[25，30）	2	0.05
合计	M	1