北京市通州区2019-2020学年高三上学期期中数学试题

试卷更新日期：2019-12-03 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $M = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $N = {x | x^{2} + x - 2 < 0}$ ，则M∩N＝（）

A、{-2，-1，0，1} B、{-1，0，1} C、{-1，0} D、{0，1}

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2. 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1 ， a_{4} = 8.$ 则 $a_{n} =$ （）．

A、 $2^{n - 1}$ B、 $2^{n}$ C、 $2^{n + 1}$ D、 $2^{n + 2}$

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3. 下列函数中为偶函数且在 $(0 ， + \infty)$ 上为增函数的是（）

A、 $y = \frac{1}{x}$ B、 $y = lg | x |$ C、 $y = \cos x$ D、 $y = 2^{x}$

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4. “ $\sin 2 α > 0$ ”是“ $\tan α > 0$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 直线 $l$ 经过点 $A (0 ， b)$ ，且与直线 $y = x$ 平行，如果直线 $l$ 与曲线 $y = x^{2}$ 相切，那么 $b$ 等于（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 在 $Δ$ ABC中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c.若 $A = \frac{π}{4}$ ， $a = \sqrt{5}$ ， $b = \sqrt{2}$ ，则 $Δ$ ABC的面积等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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7. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， x \leq 1 ， \\ \log_{2} x ， x > 1 ， \end{array}$ 若方程 $f (x) - k = 0$ 有且只有一个根，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(2 ， + \infty)$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $[0 ， 2]$

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8. 2014年6月22日，卡塔尔首都多哈召开的第38届世界遗产大会上宣布：中国大运河项目成功入选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目.随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的的.今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头.已知游船在顺水中的速度为 $v_{1}$ ，在逆水中的速度为 $v_{2}$ （ $v_{1} \neq v_{2}$ ），则游船此次行程的平均速度 $\bar{v}$ 与 $\frac{v_{1} + v_{2}}{2}$ 的大小关系是（）

A、 $\bar{v} > \frac{v_{1} + v_{2}}{2}$ B、 $\bar{v} = \frac{v_{1} + v_{2}}{2}$ C、 $\bar{v} < \frac{v_{1} + v_{2}}{2}$ D、 $\bar{v} \geq \frac{v_{1} + v_{2}}{2}$

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二、填空题

9. 已知 $a + b i = \frac{2 - i}{i}$ ( $i$ 为虚数单位， $a ， b \in R$ )，则 $a + b =$ ．

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10. 已知 $a = \log_{2} 7$ ， $b = 2^{- 3}$ ， $c = 3^{\frac{3}{2}}$ ，则三个数的大小关系是．

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11. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{11} = 22$ ， $a_{7} = 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的公差等于.

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12. 定义在R上的函数 $f (x)$ ，给出下列三个论断：
① $f (x)$ 在R上单调递增；② $x > 1$ ；③ $f (x) > f (1)$ .

以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题：.

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13. 若函数 $f (x) = a \cos x + \sin x$ 在区间 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{4})$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是.

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14. 设 $A$ 是整数集的一个非空子集，对于 $k \in A$ ，若 $k - 1 \notin A$ ，且 $k + 1 \notin A$ ，则称 $k$ 是 $A$ 的一个“孤立元”．集合 $T = {1 ， 2 ， 3 ， 5}$ 元素中T的“孤立元”是；对给定集合 $S = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，由 $S$ 中的3个元素构成的所有集合中，含“孤立元”的集合有个

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三、解答题

15. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x + 2 \cos^{2} x - 1$ ．

(1)、求 $f (\frac{5 π}{12})$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的最小正周期及单调增区间．

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16. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ B = 60 °$ ， $\cos C = \frac{1}{7}$ ， $A C = 7$ ，D是AB边的中点.

(1)、求AB的长；

(2)、求CD的长.

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17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前6项依次成等比数列，设公比为q（ $q \neq 1$ ），数列从第5项开始各项依次为等差数列，其中 $a_{4} = a_{7} = - 4$ ，数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ .

(1)、求公比q及数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $S_{n} \geq 0$ ，求项数n的取值范围.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°， $P A ⊥$ 平面ABCD ， $P A = A B$ ，点E ， F为PC ， PA的中点．

(1)、求证：平面BDE⊥平面ABCD；

(2)、二面角E—BD—F的大小；

(3)、设点M在PB(端点除外)上，试判断CM与平面BDF是否平行，并说明理由．

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19. 设函数 $f (x) = x^{3} - (b + 1) x^{2} + b x$ ．

(1)、当b=0时，求函数 $f (x)$ 的极小值；

(2)、若已知b>1且函数 $f (x)$ 与直线y=-x相切，求b的值；

(3)、在（2）的条件下，函数 $f (x)$ 与直线y=-x+m有三个公共点，求m的取值范围.(直接写出答案)

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20. 已知函数 $f (x) = x - a \ln x$ $(a > 0)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求函数 $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a x - f (x)$ 的零点个数；

(3)、当 $a = 1$ 时，求证不等式 $f (x) \leq \frac{x - 1}{x}$ 解集为空集.

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