吉林省长春市农安县黄金中学2019-2020学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2019-12-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A、 B、 C、 D、

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2. 下列方程中是一元二次方程的是（）
A、xy+2=1 B、 $x^{2} + \frac{1}{2 x} - 9 = 0$ C、x²=0 D、ax²+bx+c=0

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3. 一元二次方程x²﹣5x﹣6=0的根是（　　）
A、x₁=1，x₂=6 B、x₁=2，x₂=3 C、x₁=1，x₂=﹣6 D、x₁=﹣1，x₂=6

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4. 抛物线 $y = 3 {(x - 1)}^{2} + 1$ 的顶点坐标是（）
A、 $(1, 1)$ B、 $(- 1, 1)$ C、 $(- 1, - 1)$ D、 $(1, - 1)$

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5. 将抛物线y= $\frac{1}{2}$ x²﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）
A、y= $\frac{1}{2}$ （x﹣8）²+5 B、y= $\frac{1}{2}$ （x﹣4）²+5 C、y= $\frac{1}{2}$ （x﹣8）²+3 D、y= $\frac{1}{2}$ （x﹣4）²+3

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6. 如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的长等于（）
A、8 B、10 C、11 D、12

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7. 宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房.如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当房价定为 $x$ 元时，宾馆当天的利润为10890元.则有（）
A、 $(180 + x - 20) (50 - \frac{x}{10}) = 10890$ B、 $x (50 - \frac{x - 180}{10}) - 50 \times 20 = 10890$ C、 $(x - 20) (50 - \frac{x - 180}{10}) = 10890$ D、 $(x + 180) (50 - \frac{x}{10}) - 50 \times 20 = 10890$

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8. 把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝4，CD＝5．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D₁CE₁（如图2），此时AB与CD₁交于点O，则线段AD₁的长度为（）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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9. 如图已知在 $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90^{\circ}$ ，直角 $∠ E P F$ 的顶点 $P$ 是 $B C$ 的中点，两边 $P E$ 、 $P F$ 分别交 $A B$ 和 $A C$ 于点 $E$ 、 $F$ ，给出以下五个结论正确的个数有（）
① $A E = C F$ ；② $∠ A P E = ∠ C P F$ ；③ $Δ B E P$ ≌ $Δ A F P$ ；④ $Δ E P F$ 是等腰直角三角形；⑤当 $∠ E P F$ 在 $Δ A B C$ 内绕顶点 $P$ 旋转时（点 $E$ 不与 $A$ 、 $B$ 重合）， $S_{四边形 A E P F} = \frac{1}{2} S_{Δ A B C}$ .

A、2 B、3 C、4 D、5

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10. 二次函数y=ax²+bx+c （a≠0）的图象如图所示，对称轴是x=﹣1．下列结论：①ab＞0；②b²＞4ac；③a﹣b+2c＜0；④8a+c＜0．其中正确的是（）

A、③④ B、①②③ C、①②④ D、①②③④

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二、填空题

11. 若m是方程2x²-3x-1=0的一个根，则6m²-9m+2015的值为．

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12. 将一元二次方程x²﹣6x+5=0化成（x﹣a）²=b的形式，则ab= ．

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13. 已知点A（-1，y₁）、B（-2，y₂）、C（3，y₃）在抛物线y=-x²-2x+c上，则y₁、y₂、y₃的大小关系是.

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14. 如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为．

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15. 如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′= ．

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16. 二次函数y=x²﹣2x﹣5的最小值是．

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三、解答题

17. 解方程：

(1)、 $x (x - 2) + x - 2 = 0$

(2)、 $(x - 2) (x - 5) = - 2$

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18. 已知，抛物线 $y = a x^{2} + 2 a x + c$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ 在点 $B$ 左侧.点 $B$ 的坐标为 $(1, 0)$ ， $O C = 3 O B$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、当 $a > 0$ 时，如图所示，若点 $D$ 是第三象限抛物线上方的动点，设点 $D$ 的横坐标为 $m$ ，三角形 $A D C$ 的面积为 $S$ ，求出 $S$ 与 $m$ 的函数关系式，并直接写出自变量 $m$ 的取值范围；请问当 $m$ 为何值时， $S$ 有最大值？最大值是多少.

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19. 如图，在⊙O中，半径OC⊥AB，垂足为点D，AB=12，OD=8，求⊙O半径的长．

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20. 已知a、b是一元二次方程x²﹣2x﹣1=0的两个根，求a²﹣a+b+3ab的值．

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21. 如图，在△ABC中，已知AB=AC，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△ADE，连接BD，CE交于点F．

(1)、求证：△ABD≌△ACE；

(2)、求∠ACE的度数．

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22. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 10 c m$ ， $A D = 8 c m$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发沿 $A B$ 以2 $c m / s$ 的速度向点终点 $B$ 运动，同时点 $Q$ 从点 $B$ 出发沿 $B C$ 以1 $c m / s$ 的速度向点终点 $C$ 运动，它们到达终点后停止运动.

(1)、几秒后，点 $P$ 、 $D$ 的距离是点 $P$ 、 $Q$ 的距离的2倍；

(2)、几秒后， $Δ D P Q$ 的面积是24 $c m^{2}$ .

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23. 某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元．

销售单价x（元）

3.5

5.5

销售量y（袋）

280

120

(1)、请直接写出y与x之间的函数关系式；

(2)、如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？

(3)、设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？

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24. 我们定义：如图1、图2、图3，在 $Δ A B C$ 中，把 $A B$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $α (0^{\circ} < α < 180^{\circ})$ 得到 $A B'$ ，把 $A C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $β$ 得到 $A C'$ ，连接 $B' C'$ ，当 $α + β = 180^{\circ}$ 时，我们称 $Δ A B' C'$ 是 $Δ A B C$ 的“旋补三角形”， $Δ A B' C'$ 边 $B' C'$ 上的中线 $A D$ 叫做 $Δ A B C$ 的“旋补中线”，点 $A$ 叫做“旋补中心”.图1、图2、图3中的 $Δ A B' C'$ 均是 $Δ A B C$ 的“旋补三角形”.

(1)、①如图2，当 $Δ A B C$ 为等边三角形时，“旋补中线” $A D$ 与 $B C$ 的数量关系为： $A D =$ $B C$ ；
②如图3，当 $∠ B A C = 90^{\circ}$ ， $B C = 8$ 时，则“旋补中线” $A D$ 长为.

(2)、在图1中，当 $Δ A B C$ 为任意三角形时，猜想“旋补中线” $A D$ 与 $B C$ 的数量关系，并给予证明.

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25. 如图，抛物线y=﹣x²+bx+c与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，且OA=1，OB=3，顶点为D，对称轴交x轴于点Q．

(1)、求抛物线对应的二次函数的表达式；

(2)、点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；

(3)、在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM∽△BQC？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．

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销售单价x（元）	3.5	5.5
销售量y（袋）	280	120