吉林省长春市宽城区2019-2020学年七年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2019-12-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$ B、 ${(a^{2} b)}^{3} = a^{5} b^{3}$ C、 $a^{7} \div a^{3} = a^{4}$ D、 ${(a - 1)}^{2} = a^{2} - 1$

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2. 下列命题中，逆命题正确的是（）

A、全等三角形的对应边相等 B、全等三角形的对应角相等 C、全等三角形的周长相等 D、全等三角形的面积相等

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3. 把多项式 $4 a^{2} - 1$ 分解因式，结果正确的是（）

A、 ${(2 a + 1)}^{2}$ B、 ${(2 a - 1)}^{2}$ C、 $(4 a + 1) (4 a - 1)$ D、 $(2 a + 1) (2 a - 1)$

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4. 已知a＋ $\frac{1}{a}$ ＝3，则a²＋ $\frac{1}{a^{2}}$ 等于（）

A、5 B、7 C、9 D、11

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5. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明 $△ C^{'} O^{'} D^{'} ≌ △ C O D$ 的依据是（）

A、 $SSS$ B、 $SAS$ C、 $AAS$ D、 $ASA$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于 $D$ .若 $B C = 32$ ，且 $C D ： B D = 7 ： 9$ ，则点 $D$ 到边 $A B$ 的距离为（）

A、7 B、9 C、14 D、18

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B > B C > A C$ .用直尺和圆规在边 $B C$ 上确定一点 $P$ ，使点 $P$ 到点 $A$ 、点 $B$ 的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 45 °$ ，点 $D$ 在边 $A C$ 上.将 $△ A B D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $45 °$ 得到 $△ A C D^{'}$ ，且 $D^{'}$ 、 $D$ 、 $B$ 三点在同一条直线上，则 $∠ A B D$ 的大小为（）

A、 $15 °$ B、 $22.5 °$ C、 $25 °$ D、 $30 °$

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二、填空题

9. 当x=1，y= $- \frac{1}{3}$ 时，代数式x²+2xy+y²的值是．

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10. 分解因式： $m^{2} - 6 m + 8 =$ .

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11. 若 $4^{a} = 2$ ， $4^{b} = 3$ ，则 $4^{2 a + b}$ 的值为.

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12. 如图， $D$ 是 $A B$ 上一点， $E$ 是 $A C$ 的中点， $C F ∥ A B$ 交 $D E$ 的延长线于 $F$ .若 $A B = 6$ ， $C F = 4$ ，则 $B D$ 的长为.

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13. 如图， $P A ⊥ O N$ 于 $A$ ， $P B ⊥ O M$ 于 $B$ ，且 $P A = P B$ .若 $∠ M O N = 50 °$ ， $∠ O P C = 30 °$ ，则 $∠ P C A$ 的大小为度.

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14. 如图是用四张相同的长方形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a、b的恒等式.

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三、解答题

15. 计算： ${(a + 3)}^{2} + (a + 1) (a - 1) - 2 (2 a + 4)$ .

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16. 如图，在4×3的正方形网格中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上请你在图①和图②中分别画出一个三角形，同时满足以下两个条件：

(1)、以点A为一个顶点，另外两个顶点也在正方形网格点上；

(2)、与△ABC全等，且不与△ABC重合．

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17. 如图， $A B = A E$ ， $A C = D E$ ， $A B ∥ D E$ ，求证： $∠ B = ∠ E A D$ .

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18. 先化简，再求值： $[(m n + 1) (m n - 2) - 2 m^{2} n^{2} + 2] \div (- m n)$ ，其中 $m = \frac{3}{2}$ ， $n = - \frac{4}{3}$ .

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于 $D$ ，点 $G$ 是 $C A$ 延长线上一点， $G E ∥ A D$ ，交 $A B$ 于 $F$ ，交 $B C$ 于 $E$ . 判断 $△ A F G$ 的形状并加以证明.

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20. 在一块长为 $7 x + 5 y$ ，宽为 $5 x + 3 y$ 的长方形铁片的四个角都剪去一个边长为 $x + y$ 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，求这个盒子的表面积（用含 $x$ 、 $y$ 的代数式表示）.

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21.
某游乐场有两个长度相同的滑梯，要想使左边滑梯BC的高度AC与右边滑梯EF的水平方向的长度DF相等，则两个滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE的大小必须满足什么关系？说明理由．

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22. 仔细阅读下面例题，解答问题.
（例题）已知关于 $x$ 的多项式 $x^{2} - 4 x + m$ 有一个因式是 $(x + 3)$ ，求另一个因式及 $m$ 的值.

解：设另一个因式为 $(x + n)$ ，

则 $x^{2} - 4 x + m = (x + 3) (x + n)$ ，即 $x^{2} - 4 x + m = x^{2} + (n + 3) x + 3 n$ .

$∴ {\begin{array}{l} n + 3 = - 4 ， \\ 3 n = m . \end{array}$ 解得 ${\begin{array}{l} m = - 21 ， \\ n = - 7. \end{array}$

∴另一个因式为 $(x - 7)$ ， $m$ 的值为 $- 21$ .

（问题）仿照以上方法解答下面问题：

(1)、已知关于 $x$ 的多项式 $x^{2} + 7 x + a$ 有一个因式是 $(x - 2)$ ，求另一个因式及 $a$ 的值.

(2)、已知关于 $x$ 的多项式 $2 x^{2} + 3 x - k$ 有一个因式是 $(x + 4)$ ，求 $k$ 的值.

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23. 教材呈现：下图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容.

请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程.

定理应用：

如图②，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = ∠ C$ ，点 $E$ 在边 $B C$ 上. $A E$ 平分 $∠ B A D$ ， $D E$ 平分 $∠ A D C$ .

求证： $B E = C E$ .

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24. 在等边三角形 $A B C$ 中，点 $P$ 从点 $B$ 出发沿射线 $B A$ 运动，同时点 $Q$ 从点 $C$ 出发沿线段 $A C$ 的延长线运动， $P$ 、 $Q$ 两点运动的速度相同， $P Q$ 与直线 $B C$ 相交于点 $D$ .

(1)、如图①，过点 $P$ 作 $P E ∥ A C$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，求证： $E P = C Q$ .

(2)、如图②，过点 $P$ 作直线 $B C$ 的垂线，垂足为 $F$ .
①当点 $P$ 在线段 $B A$ 上运动时，求证： $B F + C D = \frac{1}{2} B C$ .

②当点 $P$ 在线段 $B A$ 延长线上运动时，直接写出 $B F$ 、 $C D$ 与 $B C$ 之间的数量关系.

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