上海市杨浦区2019-2020学年高三上学期数学期中质量调研试卷

试卷更新日期：2019-12-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $x \in R$ ，则“ $\sin x = 1$ ” 是“ $\cos x = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、非充分非必要条件

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2. 某班有20名女生和19名男生，从中选出5人组成一个垃圾分类宣传小组，要求女生和男生均不少于2人的选法共有（）

A、 $C_{20}^{2} \cdot C_{19}^{2} \cdot C_{35}^{1}$ B、 $C_{39}^{5} - C_{20}^{5} - C_{19}^{5}$ C、 $C_{39}^{5} - C_{20}^{1} C_{19}^{4} - C_{20}^{4} C_{19}^{1}$ D、 $C_{20}^{2} C_{19}^{3} + C_{20}^{3} C_{19}^{2}$

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3. 已知二面角 $α - l - β$ 是直二面角， $m$ 为直线， $γ$ 为平面，则下列命题中真命题为（）

A、若 $m \subset α$ ，则 $m ⊥ β$ B、若 $m ⊥ α$ ，则 $m$ ∥ $β$ C、若 $m$ ∥ $α$ ，则 $m ⊥ β$ D、若 $γ$ ∥ $α$ ，则 $γ ⊥ β$

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4. 记有限集合 $M$ 中元素的个数为 $| M |$ ，且 $| \emptyset | = 0$ ，对于非空有限集合 $A$ 、 $B$ ，下列结论：①若 $| A |_{} \leq_{} | B |$ ，则 $A \subseteq B$ ；②若 $| A \cup B | = | A \cap B |$ ，则 $A = B$ ；③若 $| A \cap B | = 0$ ，则 $A$ 、 $B$ 中至少有个是空集；④若 $A \cap B = \emptyset$ ，则 $| A \cup B | = | A | + | B |$ ；其中正确结论的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

5. 函数 $f (x) = \sqrt{2 + x}$ 的定义域是.

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6. 方程 $\lg (2 x + 3) = 2 \lg x$ 的解为.

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7. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，直线 $B C_{1}$ 与平面 $B B_{1} D_{1} D$ 所成的角等于．

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8. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (- 1, 2)$ (始边为 $x$ 轴正半轴)，则 $\sin 2 α =$ .

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9. 在 ${(x - \frac{1}{x})}^{10}$ 的展开式中，常数项等于.（结果用数值表示）

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10. 若 $x > 0, y > 0$ ，且 $2 x + y = 1$ ，则 $x y$ 的最大值为．

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11. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象经过点 $P (4, 2)$ ，则它的反函数 $f^{- 1} (x)$ 为.

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12. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取5个不同的数，中位数为4的取法有种.（用数值表示）

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13. 已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为 $\frac{6 π}{5}$ 、面积为 $15 π$ ，则该圆锥的体积为.

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14. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $b = 2$ ， $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sqrt{3} \cos B}{b}$ ，则 $Δ A B C$ 的面积的最大值等于.

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15. 在高中阶段，我们学习过函数的概念、性质和图像，以下两个结论是正确的：①偶函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ （ $a < b$ ）上的取值范围与在区间 $[- b, - a]$ 上的取值范围是相同的；②周期函数 $f (x)$ 在一个周期内的取值范围也就是 $f (x)$ 在定义域上的值域，由此可求函数 $g (x) = 2 | \sin x | + 19 | \cos x |$ 的值域为.

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16. 定义在实数集 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = 1 + \sqrt{2 f (x) - f^{2} (x)}$ ，则 $f (\frac{2019}{2}) =$ .

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三、解答题

17. 在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E ， F$ 分别为棱 $A_{1} B_{1}$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点，去掉三棱锥 $A_{1} - A E F$ 得到一个多面体 $A B C - B_{1} C_{1} F E$ ，已知 $A B = 6$ ， $B B_{1} = 4$ .

(1)、求多面体 $A B C - E F C_{1} B_{1}$ 的体积；

(2)、求异面直线 $A E$ 与 $B C$ 所成角的大小.

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18. 《上海市生活垃圾管理条例》于2019年7月1日正式实施，某小区全面实施垃圾分类处理，已知该小区每月垃圾分类处理量不超过300吨，每月垃圾分类处理成本 $y$ （元）与每月分类处理量 $x$ （吨）之间的函数关系式可近似表示为 $y = x^{2} - 200 x + 40000$ ，而分类处理一吨垃圾小区也可以获得300元的收益.

(1)、该小区每月分类处理多少吨垃圾，才能使得每吨垃圾分类处理的平均成本最低；

(2)、要保证该小区每月的垃圾分类处理不亏损，每月的垃圾分类处理量应控制在什么范围？

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19. 已知 $a$ 是实常数，函数 $f (x) = a \lg (1 - x) - \lg (1 + x)$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求证：函数 $y = f (x)$ 是减函数；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的奇偶性，井说明理由.

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20. 如图是函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 \leq φ \leq π)$ 一个周期内的图象，将 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象.

(1)、求函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (x_{0}) = g (x_{0})$ ，求 $\sin (x_{0} - \frac{π}{3})$ 的所有可能的值；

(3)、求函数 $F (x) = f (x) + a g (x)$ （ $a$ 为正常数）在区间 $(0 ， 19 π)$ 内的所有零点之和.

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21. 对于定义在 $D$ 上的函数 $y = f (x)$ ，如果存在两条平行直线 $l_{1} ： y = k x + b_{1}$ 与 $l_{2} ： y = k x + b_{2}$ $(b_{1} \neq b_{2})$ ，使得对于任意 $x \in D$ ，都有 $k x + b_{1} \leq f (x) \leq k x + b_{2}$ 恒成立，那么称函数 $y = f (x)$ 是带状函数，若 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间的最小距离 $d$ 存在，则称 $d$ 为带宽.

(1)、判断函数 $f (x) = \sin x + \cos x$ 是不是带状函数？如果是，指出带宽（不用证明）；如果不是，说明理由；

(2)、求证：函数 $g (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ （ $x \geq 1$ ）是带状函数；

(3)、求证：函数 $h (x) = a | x - x_{1} | + b | x - x_{2} |$ （ $x_{1} < x_{2}$ ）为带状函数的充要条件是 $a + b = 0$ .

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