2017年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-07-20 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知集合A={x|x²﹣4＜0}，则∁_RA=（）

A、{x|x≤﹣2或x≥2} B、{x|x＜﹣2或x＞2} C、{x|﹣2＜x＜2} D、{x|﹣2≤x≤2}

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2. 下列函数中为奇函数的是（）

A、y=x+cosx B、y=x+sinx C、 $y = \sqrt{x}$ D、y=e^﹣^|^x^|

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3. 若x，y满足 ${\begin{matrix} x - y + 1 \geq 0 \\ x + y \leq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ ，则x+2y的最大值为（）

A、﹣1 B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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4. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是非零向量，则“ $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共线”是“| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |=| $\vec{a}$ |+| $\vec{b}$ |”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知等比数列{a_n}为递增数列，S_n是其前n项和．若a₁+a₅= $\frac{17}{2}$ ，a₂a₄=4，则S₆=（）

A、 $\frac{27}{16}$ B、 $\frac{27}{8}$ C、 $\frac{63}{4}$ D、 $\frac{63}{2}$

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6. 我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202﹣1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的n=5，v=1，x=2，则程序框图计算的是（）

A、2⁵+2⁴+2³+2²+2+1 B、2⁵+2⁴+2³+2²+2+5 C、2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1 D、2⁴+2³+2²+2+1

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7. 动点P从点A出发，按逆时针方向沿周长为1的平面图形运动一周，A，P两点间的距离y与动点P所走过的路程x的关系如图所示，那么动点P所走的图形可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 据统计某超市两种蔬菜A，B连续n天价格分别为a₁ ， a₂ ， a₃ ， …，a_n ，和b₁ ， b₂ ， b₃ ， …，b_n ，令M={m|a_m＜b_m ， m=1，2，…，n}，若M中元素个数大于 $\frac{3}{4}$ n，则称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B的价格，记作：A?B，现有三种蔬菜A，B，C，下列说法正确的是（）

A、若A𡿨B，B𡿨C，则A𡿨C B、若A𡿨B，B𡿨C同时不成立，则A𡿨C不成立 C、A𡿨B，B𡿨A可同时不成立 D、A𡿨B，B𡿨A可同时成立

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二、填空题

9. 复数i（2﹣i）在复平面内所对应的点的坐标为．

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10. 在极坐标系中，直线ρcosθ+ $\sqrt{3}$ ρsinθ+1=0与圆ρ=2acosθ（a＞0）相切，则a= ．

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11. 某校开设A类选修课4门，B类选修课2门，每位同学需从两类选修课中共选4门，若要求至少选一门B类课程，则不同的选法共有种．（用数字作答）

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12. 如图，在四边形ABCD中，∠ABD=45°，∠ADB=30°，BC=1，DC=2，cos∠BCD= $\frac{1}{4}$ ，则BD=；三角形ABD的面积为．

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13. 在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y²=4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则|OA|= ．

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} | x - 1 | ， x \in (0 ， 2] \\ m i n {| x - 1 | ， | x - 3 |} ， x \in (2 ， 4] \\ m i n {| x - 3 | ， | x - 5 |} ， x \in (4 ， + \infty) . \end{matrix}$
①若f（x）=a有且只有一个根，则实数a的取值范围是．
②若关于x的方程f（x+T）=f（x）有且仅有3个不同的实根，则实数T的取值范围是．

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三、解答题

15. 已知函数f（x）= $\sqrt{3}$ sin2x+a•cos2x（a∈R）．
（Ⅰ）若f（ $\frac{π}{6}$ ）=2，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在[ $\frac{π}{12}$ ， $\frac{7 π}{12}$ ]上单调递减，求f（x）的最大值．

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16. 小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据，该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，40%以下为舒适，40%﹣60%为一般，60%以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天．
（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；
（Ⅱ）设X是小明游览期间遇上舒适的天数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）

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17. 如图，在几何体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，EA=ED=AB=2EF，EF∥AB，M为BC中点．
（Ⅰ）求证：FM∥平面BDE；
（Ⅱ）求直线CF与平面BDE所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱CF上是否存在点G，使BG⊥DE？若存在，求 $\frac{C G}{C F}$ 的值；若不存在，说明理由．

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18. 设函数f（x）=（x²+ax﹣a）•e^﹣^x（a∈R）．
（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程；
（Ⅱ）设g（x）=x²﹣x﹣1，若对任意的t∈[0，2]，存在s∈[0，2]使得f（s）≥g（t）成立，求a的取值范围．

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19. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的短轴长为2 $\sqrt{3}$ ，右焦点为F（1，0），点M是椭圆C上异于左、右顶点A，B的一点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线AM与直线x=2交于点N，线段BN的中点为E．证明：点B关于直线EF的对称点在直线MF上．

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20. 对于n维向量A=（a₁ ， a₂ ， …，a_n），若对任意i∈{1，2，…，n}均有a_i=0或a_i=1，则称A为n维T向量．对于两个n维T向量A，B，定义d（A，B）= $\sum_{i = 1}^{n} | a_{i} - b_{i} |$ ．
（Ⅰ）若A=（1，0，1，0，1），B=（0，1，1，1，0），求d（A，B）的值．
（Ⅱ）现有一个5维T向量序列：A₁ ， A₂ ， A₃ ， …，若A₁=（1，1，1，1，1）且满足：d（A_i ， A_i₊₁）=2，i∈N^* ．求证：该序列中不存在5维T向量（0，0，0，0，0）．
（Ⅲ）现有一个12维T向量序列：A₁ ， A₂ ， A₃ ， …，若 $A_{1} = ({\underset{︸}{1 ， 1 ， \dots ， 1}}_{12 个})$ 且满足：d（A_i ， A_i₊₁）=m，m∈N^* ， i=1，2，3，…，若存在正整数j使得 $A_{j} = ({\underset{︸}{0 ， 0 ， \dots ， 0}}_{12 个})$ ，A_j为12维T向量序列中的项，求出所有的m．

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