2017年高考真题分类汇编（理数）：专题5 解析几何

试卷更新日期：2017-07-20 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 椭圆 $\frac{x^{2}}{9}$ + $\frac{y^{2}}{4}$ =1的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{13}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{9}$

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2. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y= $\frac{\sqrt{5}}{2}$ x，且与椭圆 $\frac{x^{2}}{12}$ + $\frac{y^{2}}{3}$ =1有公共焦点，则C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{8}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{10}$ =1 B、 $\frac{x^{2}}{4}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{5}$ =1 C、 $\frac{x^{2}}{5}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{4}$ =1 D、 $\frac{x^{2}}{4}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{3}$ =1

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3. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为 $\sqrt{2}$ ．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（　　）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4}$ =1 B、 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{8}$ =1 C、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{8}$ =1 D、 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{4}$ =1

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4. 已知F为抛物线C：y²=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l₁ ， l₂ ，直线l₁与C交于A、B两点，直线l₂与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（　　）

A、16 B、14 C、12 D、10

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5. 若双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）²+y²=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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6. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A₁ ， A₂ ，且以线段A₁A₂为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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二、填空题

7. 若双曲线x²﹣ $\frac{y^{2}}{m}$ =1的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则实数m= ．

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8. 在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x²+y²=50上．若 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ ≤20，则点P的横坐标的取值范围是．

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9. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线 $\frac{x^{2}}{3}$ ﹣y²=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F₁ ， F₂ ，则四边形F₁PF₂Q的面积是．

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10. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为．

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11. 已知F是抛物线C：y²=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|= ．

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12. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x²=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为．

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三、解答题

13. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．已知A是抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为 $\frac{1}{2}$ ．
（Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求直线AP的方程．

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14. 已知抛物线C：y²=2px过点P（1，1）．过点（0， $\frac{1}{2}$ ）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（14分）

(1)、求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

(2)、求证：A为线段BM的中点．

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15. 设O为坐标原点，动点M在椭圆C： $\frac{x^{2}}{2}$ +y²=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足 $\vec{N P}$ = $\sqrt{2} \vec{N M}$ ．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设点Q在直线x=﹣3上，且 $\vec{O P}$ • $\vec{P Q}$ =1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．

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16.
在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，焦距为2．（14分）

（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）如图，该直线l：y=k₁x﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k₂ ，且看k₁k₂₌ $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．

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17.
如图，已知抛物线x²=y，点A（﹣ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{4}$ ），B（ $\frac{3}{2}$ ， $\frac{9}{4}$ ），抛物线上的点P（x，y）（﹣ $\frac{1}{2}$ ＜x＜ $\frac{3}{2}$ ），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．
（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；
（Ⅱ）求|PA|•|PQ|的最大值．

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18.
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F₁作直线PF₁的垂线l₁ ，过点F₂作直线PF₂的垂线l₂ ．

（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；

（Ⅱ）若直线l₁ ， l₂的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．

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19. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0），四点P₁（1，1），P₂（0，1），P₃（﹣1， $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ），P₄（1， $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ）中恰有三点在椭圆C上．

(1)、求C的方程；

(2)、设直线l不经过P₂点且与C相交于A，B两点．若直线P₂A与直线P₂B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．

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20. 已知抛物线C：y²=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
（Ⅰ）证明：坐标原点O在圆M上；
（Ⅱ）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．

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