2017年高考真题分类汇编（理数）：专题4 数列与不等式

试卷更新日期：2017-07-20 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 设变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} 2 x + y \geq 0 \\ x + 2 y - 2 \geq 0 \\ x \leq 0 \\ y \leq 3 \end{matrix}$ ，则目标函数z=x+y的最大值为（　　）

A、 $\frac{2}{3}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、3

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2. 若x，y满足 ${\begin{matrix} x \leq 3 \\ x + y \geq 2 \\ y \leq x \end{matrix}$ ，则x+2y的最大值为（　　）

A、1 B、3 C、5 D、9

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3. 记S_n为等差数列{a_n}的前n项和．若a₄+a₅=24，S₆=48，则{a_n}的公差为（　　）

A、1 B、2 C、4 D、8

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4. 若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（　　）

A、a+ $\frac{1}{b}$ ＜ $\frac{b}{2^{a}}$ ＜log₂（a+b）） B、 $\frac{b}{2^{a}}$ ＜log₂（a+b）＜a+ $\frac{1}{b}$ C、a+ $\frac{1}{b}$ ＜log₂（a+b）＜ $\frac{b}{2^{a}}$ D、log₂（a+b））＜a+ $\frac{1}{b}$ ＜ $\frac{b}{2^{a}}$

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5. 已知x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y + 3 \leq 0 \\ 3 x + y + 5 \leq 0 \\ x + 3 \geq 0 \end{matrix}$ ，则z=x+2y的最大值是（　　）

A、0 B、2 C、5 D、6

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6. 已知等差数列{a_n}的公差为d，前n项和为S_n ，则“d＞0”是“S₄+S₆＞2S₅”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 若x、y满足约束条件 ${\begin{matrix} x \geq 0 \\ x + y - 3 \geq 0 \\ x - 2 y \leq 0 \end{matrix}$ ，则z=x+2y的取值范围是（）

A、[0，6] B、[0，4] C、[6，+∞） D、[4，+∞）

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8. 设x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + 2 y \leq 1 \\ 2 x + y \geq - 1 \\ x - y \leq 0 \end{matrix}$ ，则z=3x﹣2y的最小值为．

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9. 设x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} 2 x + 3 y - 3 \leq 0 \\ 2 x - 3 y + 3 \geq 0 \\ y + 3 \geq 0 \end{matrix}$ ，则z=2x+y的最小值是（）

A、﹣15 B、﹣9 C、1 D、9

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10. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A、1盏 B、3盏 C、5盏 D、9盏

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11. 等差数列{a_n}的首项为1，公差不为0．若a₂ ， a₃ ， a₆成等比数列，则{a_n}前6项的和为（）

A、﹣24 B、﹣3 C、3 D、8

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12. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} x^{2} - x + 3 ， x \leq 1 \\ x + \frac{2}{x} ， x > 1 \end{matrix}$ ，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥| $\frac{x}{2}$ +a|在R上恒成立，则a的取值范围是（　　）

A、[﹣ $\frac{47}{16}$ ，2] B、[﹣ $\frac{47}{16}$ ， $\frac{39}{16}$ ] C、[﹣2 $\sqrt{3}$ ，2] D、[﹣2 $\sqrt{3}$ ， $\frac{39}{16}$ ]

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13. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是2⁰ ，接下来的两项是2⁰ ， 2¹ ，再接下来的三项是2⁰ ， 2¹ ， 2² ，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（　　）

A、440 B、330 C、220 D、110

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二、填空题

14. 若x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y \geq 0 \\ x + y - 2 \leq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ ，则z=3x﹣4y的最小值为

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15. 设等比数列{a_n}满足a₁+a₂=﹣1，a₁﹣a₃=﹣3，则a₄=

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16. 等差数列{a_n}的前n项和为S_n ， a₃=3，S₄=10，则 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{S_{k}}$ = ．

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17. 等比数列{a_n}的各项均为实数，其前n项为S_n ，已知S₃= $\frac{7}{4}$ ，S₆= $\frac{63}{4}$ ，则a₈= ．

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18. 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是．

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19. 若等差数列{a_n}和等比数列{b_n}满足a₁=b₁=﹣1，a₄=b₄=8，则 $\frac{a_{2}}{b_{2}}$ = ．

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20. 若a，b∈R，ab＞0，则 $\frac{a^{4} + 4 b^{4} + 1}{a b}$ 的最小值为．

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三、解答题

21. 已知{x_n}是各项均为正数的等比数列，且x₁+x₂=3，x₃﹣x₂=2．

（Ⅰ）求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P₁（x₁ ， 1），P₂（x₂ ， 2）…P_n₊₁（x_n₊₁ ， n+1）得到折线P₁ P₂…P_n₊₁ ，求由该折线与直线y=0，x=x₁ ， x=x_n₊₁所围成的区域的面积T_n ．

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22. 已知{a_n}为等差数列，前n项和为S_n（n∈N⁺），{b_n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b₂+b₃=12，b₃=a₄﹣2a₁ ， S₁₁=11b₄ ．
（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_2nb_2n_﹣₁}的前n项和（n∈N⁺）．

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23. 已知数列{x_n}满足：x₁=1，x_n=x_n+1+ln（1+x_n+1）（n∈N^*），证明：当n∈N^*时，
（Ⅰ）0＜x_n+1＜x_n；
（Ⅱ）2x_n+1﹣x_n≤ $\frac{x_{n} x_{n + 1}}{2}$ ；
（Ⅲ） $\frac{1}{2^{n - 1}}$ ≤x_n≤ $\frac{1}{2^{n - 2}}$ ．

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24. 设{a_n}和{b_n}是两个等差数列，记c_n=max{b₁﹣a₁n，b₂﹣a₂n，…，b_n﹣a_nn}（n=1，2，3，…），其中max{x₁ ， x₂ ， …，x_s}表示x₁ ， x₂ ， …，x_s这s个数中最大的数．（13分）

(1)、若a_n=n，b_n=2n﹣1，求c₁ ， c₂ ， c₃的值，并证明{c_n}是等差数列；

(2)、证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时， $\frac{c_{n}}{n}$ ＞M；或者存在正整数m，使得c_m ， c_m₊₁ ， c_m₊₂ ， …是等差数列．

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25. 对于给定的正整数k，若数列{a_n}满足：a_n_﹣k+a_n_﹣k+1+…+a_n_﹣1+a_n+1+…a_n+k_﹣1+a_n+k=2ka_n对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a_n}是“P（k）数列”．
（Ⅰ）证明：等差数列{a_n}是“P（3）数列”；
（Ⅱ）若数列{a_n}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a_n}是等差数列．

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