2017年高考真题分类汇编（理数）：专题3 三角与向量

试卷更新日期：2017-07-20 类型：二轮复习

进入出卷网下载

一、单选题

1. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（　　）

A、a=2b B、b=2a C、A=2B D、B=2A

查看试题解析
2. 设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（ $\frac{5 π}{8}$ ）=2，f（ $\frac{11 π}{8}$ ）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（　　）

A、ω= $\frac{2}{3}$ ，φ= $\frac{π}{12}$ B、ω= $\frac{2}{3}$ ，φ=﹣ $\frac{11 π}{12}$ C、ω= $\frac{1}{3}$ ，φ=﹣ $\frac{11 π}{24}$ D、ω= $\frac{1}{3}$ ，φ= $\frac{7 π}{24}$

查看试题解析
3. 设 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 为非零向量，则“存在负数λ，使得 $\vec{m}$ =λ $\vec{n}$ ”是 $\vec{m}$ • $\vec{n}$ ＜0”的（　　）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
4. 已知曲线C₁：y=cosx，C₂：y=sin（2x+ $\frac{2 π}{3}$ ），则下面结论正确的是（　　）

A、把C₁上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到曲线C₂ B、把C₁上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到曲线C₂ C、把C₁上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到曲线C₂ D、把C₁上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到曲线C₂

查看试题解析
5. 在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若 $\vec{A P}$ =λ $\vec{A B}$ +μ $\vec{A D}$ ，则λ+μ的最大值为（）

A、3 B、2 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、2

查看试题解析
6. 设函数f（x）=cos（x+ $\frac{π}{3}$ ），则下列结论错误的是（）

A、f（x）的一个周期为﹣2π B、y=f（x）的图象关于直线x= $\frac{8 π}{3}$ 对称 C、f（x+π）的一个零点为x= $\frac{π}{6}$ D、f（x）在（ $\frac{π}{2}$ ，π）单调递减

查看试题解析
7.
如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I₁= $\vec{O A}$ • $\vec{O B}$ ，I₂= $\vec{O B}$ • $\vec{O C}$ ，I₃= $\vec{O C}$ • $\vec{O D}$ ，则（）

A、I₁＜I₂＜I₃ B、I₁＜I₃＜I₂ C、I₃＜I₁＜I₂ D、I₂＜I₁＜I₃

查看试题解析
8. 已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则 $\vec{P A}$ •（ $\vec{P B}$ + $\vec{P C}$ ）的最小值是（）

A、﹣2 B、﹣ $\frac{3}{2}$ C、﹣ $\frac{4}{3}$ D、﹣1

查看试题解析

二、填空题

9. 我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S₆ ， S₆= ．

查看试题解析
10. 若tan（α﹣ $\frac{π}{4}$ ）= $\frac{1}{6}$ ．则tanα= ．

查看试题解析
11. 已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是互相垂直的单位向量，若 $\sqrt{3} \vec{e_{1}}$ ﹣ $\vec{e_{2}}$ 与 $\vec{e_{1}}$ +λ $\vec{e_{2}}$ 的夹角为60°，则实数λ的值是．

查看试题解析
12. 在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 $\vec{B D}$ =2 $\vec{D C}$ ， $\vec{A E}$ =λ $\vec{A C}$ ﹣ $\vec{A B}$ （λ∈R），且 $\vec{A D} \cdot \vec{A E}$ =﹣4，则λ的值为．

查看试题解析
13. 已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是， cos∠BDC= ．

查看试题解析
14. 在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα= $\frac{1}{3}$ ，则cos（α﹣β）= ．

查看试题解析
15.
如图，在同一个平面内，向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 的模分别为1，1， $\sqrt{2}$ ， $\vec{O A}$ 与 $\vec{O C}$ 的夹角为α，且tanα=7， $\vec{O B}$ 与 $\vec{O C}$ 的夹角为45°．若 $\vec{O C}$ =m $\vec{O A}$ +n $\vec{O B}$ （m，n∈R），则m+n= ．

查看试题解析
16. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为60°，| $\vec{a}$ |=2，| $\vec{b}$ |=1，则| $\vec{a}$ +2 $\vec{b}$ |= ．

查看试题解析
17. 函数f（x）=sin²x+ $\sqrt{3}$ cosx﹣ $\frac{3}{4}$ （x∈[0， $\frac{π}{2}$ ]）的最大值是．

查看试题解析

三、解答题

18. 设函数f（x）=sin（ωx﹣ $\frac{π}{6}$ ）+sin（ωx﹣ $\frac{π}{2}$ ），其中0＜ω＜3，已知f（ $\frac{π}{6}$ ）=0．

（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣ $\frac{π}{4}$ ， $\frac{3 π}{4}$ ]上的最小值．

查看试题解析
19. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB= $\frac{3}{5}$ ．
（Ⅰ）求b和sinA的值；
（Ⅱ）求sin（2A+ $\frac{π}{4}$ ）的值．

查看试题解析
20. 已知函数f（x）=sin²x﹣cos²x﹣2 $\sqrt{3}$ sinx cosx（x∈R）．
（Ⅰ）求f（ $\frac{2 π}{3}$ ）的值．
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．

查看试题解析
21. 已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足| $\vec{a}$ |=1，| $\vec{b}$ |=2，则| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |+| $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ |的最小值是，最大值是．

查看试题解析
22. 在△ABC中，∠A=60°，c= $\frac{3}{7}$ a．（13分）

(1)、求sinC的值；

(2)、若a=7，求△ABC的面积．

查看试题解析
23.
如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 $\sqrt{7}$ cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E₁G₁的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（Ⅰ）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC₁上，求l没入水中部分的长度；
（Ⅱ）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG₁上，求l没入水中部分的长度．

查看试题解析
24. 已知向量 $\vec{a}$ =（cosx，sinx）， $\vec{b}$ =（3，﹣ $\sqrt{3}$ ），x∈[0，π]．

(1)、若 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，求x的值；

(2)、记f（x）= $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．

查看试题解析
25. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为 $\frac{a^{2}}{3 s i n A}$ ．

(1)、求sinBsinC；

(2)、若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．

查看试题解析
26. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin² $\frac{B}{2}$ ．
（Ⅰ）求cosB；
（Ⅱ）若a+c=6，△ABC面积为2，求b．

查看试题解析
27. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ $\sqrt{3}$ cosA=0，a=2 $\sqrt{7}$ ，b=2．
（Ⅰ）求c；
（Ⅱ）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

查看试题解析