2017年高考真题分类汇编（理数）：专题2 导数

试卷更新日期：2017-07-20 类型：二轮复习

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一、单选题

1.
函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 若x=﹣2是函数f（x）=（x²+ax﹣1）e^x^﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）

A、﹣1 B、﹣2e^﹣3 C、5e^﹣3 D、1

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3. 已知函数f（x）=x²﹣2x+a（e^x^﹣1+e^﹣x⁺¹）有唯一零点，则a=（　　）

A、﹣ $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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二、解答题

4. 已知函数f（x）=（x﹣ $\sqrt{2 x - 1}$ ）e^﹣x（x≥ $\frac{1}{2}$ ）．
（Ⅰ）求f（x）的导函数；
（Ⅱ）求f（x）在区间[ $\frac{1}{2}$ ，+∞）上的取值范围．

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5. 已知函数f（x）=x²+2cosx，g（x）=e^x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（13分）

（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；
（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

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6. 已知函数f（x）=e^xcosx﹣x．

(1)、求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

(2)、求函数f（x）在区间[0， $\frac{π}{2}$ ]上的最大值和最小值．

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7. 设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x⁴+3x³﹣3x²﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x₀ ， g（x）为f（x）的导函数．
（Ⅰ）求g（x）的单调区间；
（Ⅱ）设m∈[1，x₀）∪（x₀ ， 2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x₀）﹣f（m），求证：h（m）h（x₀）＜0；
（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且 $\frac{p}{q}$ ∈[1，x₀）∪（x₀ ， 2]，满足| $\frac{p}{q}$ ﹣x₀|≥ $\frac{1}{A q^{4}}$ ．

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8. 已知函数f（x）=x³+ax²+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
（Ⅱ）证明：b²＞3a；
（Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣ $\frac{7}{2}$ ，求a的取值范围．

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9. 已知函数f（x）=ae^2x+（a﹣2）e^x﹣x．

(1)、讨论f（x）的单调性；

(2)、若f（x）有两个零点，求a的取值范围．

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10. 已知函数f（x）=ax²﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）证明：f（x）存在唯一的极大值点x₀ ，且e^﹣2＜f（x₀）＜2^﹣2 ．

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11. 已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．
（Ⅰ）若 f（x）≥0，求a的值；
（Ⅱ）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+ $\frac{1}{2}$ ）（1+ $\frac{1}{2^{2}}$ ）…（1+ $\frac{1}{2^{n}}$ ）＜m，求m的最小值．

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