人教新课标A版选修4-5数学4.2用数学归纳法证明不等式同步检测

试卷更新日期：2016-02-18 类型：同步测试

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一、选择题

1. 用数学归纳法证明不等式： $\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + . . . + \frac{1}{2 n} > \frac{13}{24} (n > 1 ， n \in N^{*})$ ，在证明 n=k+1 这一步时，需要证明的不等式是（）

A、 $\frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + . . . + \frac{1}{2 k} > \frac{13}{24}$ B、 $\frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 3} + . . . + \frac{1}{2 k} + \frac{1}{2 k + 1} > \frac{13}{24}$ C、 $\frac{1}{k + 2} + \frac{1}{k + 3} + . . . + \frac{1}{2 k} + \frac{1}{2 k + 1} > \frac{13}{24}$ D、 $\frac{1}{k + 2} + \frac{1}{k + 3} + . . . + \frac{1}{2 k} + \frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 k + 2} > \frac{13}{24}$

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2. 用数学归纳法证明不等式 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + . . . + \frac{1}{2^{n - 1}} > \frac{n}{2} (n \in N^{*})$ ，第二步由k到k+1时不等式左边需增加（）

A、 $\frac{1}{2^{K}}$ B、 $\frac{1}{2^{K - 1} + 1} + \frac{1}{2^{k}}$ C、 $\frac{1}{2^{k - 1} + 1} + \frac{1}{2^{k - 1} + 2} + \frac{1}{2^{k}}$ D、 $\frac{1}{2^{k - 1} + 1} + \frac{1}{2^{k - 1} + 2} + . . . + \frac{1}{2^{k}}$

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3. 用数学归纳法证明 $\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + . . . + \frac{1}{2 n} > \frac{13}{24}$ 时，由k到k+1，不等式左端的变化是（）

A、增加 $\frac{1}{2 (k + 1)}$ 项 B、增加 $\frac{1}{2 k + 1}$ 和 $\frac{1}{2 k + 2}$ 两项 C、增加 $\frac{1}{2 k + 1}$ 和 $\frac{1}{2 k + 2}$ 两项且减少 $\frac{1}{k + 1}$ 一项 D、以上结论均错

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4. 用数学归纳法证明：“ $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + . . . + \frac{1}{2^{n} - 1} < n (n > 1 ， n \in N^{*})$ ”时，由n=k(k>1) 不等式成立，推证 n=k+1 时，左边应增加的项数是（）

A、2^k-1 B、2^k-1 C、2^k D、2^k+1

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5. 用数学归纳法证明 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + . . . + \frac{1}{2^{n} - 1} < n (n \in N^{*} ， n > 1)$ 时，第一步应验证不等式（）

A、 $1 + \frac{1}{2} < 2$ B、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} < 2$ C、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} < 3$ D、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} < 3$

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6. 用数学归纳法证明不等式 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + . . . + \frac{1}{2^{n - 1}} > \frac{127}{64} (n \in N^{*})$ 成立，其 n 的初始值至少应为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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7. 利用数学归纳法证明不等式 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + . . . + \frac{1}{2^{n} - 1} < f (n)$ （n≥2，n∈N^*）的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了（）

A、1项 B、k项 C、2^k^－¹项 D、2^k项

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8. 用数学归纳法证明不等式 $1 + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{3^{3}} + . . . + \frac{1}{n^{3}} < 2 - \frac{1}{n}$ (n≥2，n∈N_＋)时，第一步应验证不等式（）

A、 $1 + \frac{1}{2^{3}} < 2 - \frac{1}{2}$ B、 $1 + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{3^{3}} < 2 - \frac{1}{3}$ C、 $1 + \frac{1}{2^{3}} < 2 - \frac{1}{3}$ D、 $1 + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{3^{3}} < 2 - \frac{1}{4}$

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9. 在用数学归纳法证明不等式“当 $n \geq 2$ 时 $\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + . . . + \frac{1}{3 n} > \frac{9}{10}$ ”时，第2步由n=k(k≥2)不等式成立，推证n=k+1时左边的表达式为（）

A、_{$\frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + . . . + \frac{1}{3 k}$} B、 $\frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + . . . + \frac{1}{3 k + 1}$ C、 $\frac{1}{k + 2} + \frac{1}{k + 3} + . . . + \frac{1}{3 k} + \frac{1}{3 k + 1} + \frac{1}{3 k + 2} + \frac{1}{3 (k + 1)}$ D、 $\frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + . . . + \frac{1}{3 k} + \frac{1}{3 k + 1} + \frac{1}{3 k + 2} + \frac{1}{3 (k + 1)}$

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10. 用数学归纳法证明“ $\sqrt{n^{2} + n} < n + 1$ (n∈N_＋)”的过程中的第二步n＝k＋1时(n＝1已验，n＝k已假设成立)，这样证明： $\sqrt{{(k + 1)}^{2} + (k + 1)} = \sqrt{k^{2} + 3 k + 2} < \sqrt{k^{2} + 4 k + 4} = (k + 1) + 1$ ，
∴当n＝k＋1时，命题成立，此种证法（）

A、是正确的 B、归纳假设写法不正确 C、从k到k＋1推理不严密 D、从k到k＋1的推理过程未使用归纳假设

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二、填空题

11. 利用数学归纳法证明不等式： $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + . . . + \frac{1}{2^{n} - 1} < n (n \in N ， n > 1)$ 时，由 n=k(k>1) 不等式成立推证 n=k+1 时，左边应添加的代数式是

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12. 用数学归纳法证明不等式 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + . . . + \frac{1}{2^{n - 1}} > \frac{127}{64}$ 成立，起始值至少应取为．

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13. 用数学归纳法证明不等式 $\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + . . . + \frac{1}{n + n} > \frac{13}{24}$ 的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是

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三、解答题

14. 用数学归纳法证明等式 $1 + 2 + 3 + \dots + (n + 3) = \frac{(n + 3) (n + 4)}{2} (n \in N *)$ ．

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15. 用数学归纳法证明不等式 $1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + K + \frac{1}{\sqrt{n}} < 2 \sqrt{n} (n \in N *)$

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16. 观察下列各不等式：
$1 + \frac{1}{2^{2}} < \frac{3}{2}$ ，
$1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} < \frac{5}{3}$ ，
$1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} < \frac{7}{4}$ ，
$1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{5^{2}} < \frac{9}{5}$
…

(1)、由上述不等式，归纳出一个与正整数 $n (n \geq 2)$ 有关的一般性结论；

(2)、用数学归纳法证明你得到的结论．

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17. 设 $f (n) = {(1 + \frac{1}{n})}^{n} - n$ ，其中 n 为正整数．

(1)、求f(1)，f(2)，f(3) 的值；

(2)、猜想满足不等式 f(n)<0 的正整数 n 的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．

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18.
设个正数满足（且）．

(1)、
当时，证明：；

(2)、
当时，不等式也成立，请你将其推广到（且）个正数的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明．

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19.
已知．经计算得 $f (4) > 2, f (8) > \frac{5}{2}$ ．

(1)、由上面数据，试猜想出一个一般性结论；

(2)、用数学归纳法证明你的猜想．

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20.
已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正整数，对于任意n∈N^* ，都有成立，且．

(1)、
求，的值；

(2)、
猜想数列 ${a_{n}}$ 的通项公式，并给出证明．

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21. 证明： $1 + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}} + A + \frac{1}{\sqrt{2 n - 1}} \leq \sqrt{2 n - 1} (n \in N *)$

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22. 由下列不等式： $1 > \frac{1}{2}$ ， $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} > 1$ ， $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots \dots + \frac{1}{7} > \frac{3}{2}$ ， $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots \dots + \frac{1}{15} > 2$ ， $\dots \dots$ ，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．

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23. 设曲线 $y = \frac{a x^{3}}{3} + \frac{1}{2} b x^{2} + c x$ 在点 $A (x ， y)$ 处的切线斜率为 $k (x)$ ，且 $k (- 1) = 0$ .对一切实数 x ，不等式 $x \leq k (x) \leq \frac{1}{2} (x^{2} + 1)$ 恒成立( a ≠0).

(1)、求 $k (1)$ 的值；

(2)、求函数 $k (x)$ 的表达式；

(3)、求证： $\frac{1}{k (1)} + \frac{1}{k (2)} + \dots + \frac{1}{k (n)} > \frac{2 n}{n + 2}$

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24. 已知a_i>0(i=1，2，...，n) ，考查
① $a_{1} \cdot \frac{1}{a_{1}} \geq 1$ ；
② $(a_{1} + a_{2}) (\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}}) \geq 4$ ；
③ $(a_{1} + a_{2} + a_{3}) (\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}}) \geq 9$ ．
归纳出对 a₁ ， a₂ ， a₃ ， ...，a_n 都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．

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25.
设 $x \in N$ 满足 ${(\frac{1 + x}{x})}^{2013} < \frac{2014}{2013}$ 数列是公差为，首项的等差数列；数列是公比为首项的等比数列，求证：

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