人教新课标A版选修4-5数学4.1数学归纳法同步检测

试卷更新日期：2016-02-18 类型：同步测试

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一、选择题

1. 用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xⁿ+yⁿ能被x+y整除”，第二步归纳假设应写成（）

A、假设n=2k+1（k∈N^*）正确，再推n=2k+3正确 B、假设n=2k﹣1（k∈N^*）正确，再推n=2k+1正确 C、假设n=k（k∈N^*）正确，再推n=k+1正确 D、假设n=k（k≥1）正确，再推n=k+2正确

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2. 在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 $\frac{1}{2} n (n - 3)$ 条时，第一步验证n等于（）

A、1 B、2 C、3 D、0

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3. 用数学归纳法证明“n³＋(n＋1)³＋(n＋2)³ ， (n∈N_＋)能被9整除”，要利用归纳法假设证n＝k＋1时的情况，只需展开（）．

A、(k＋3)³ B、(k＋2)³ C、(k＋1)³ D、(k＋1)³＋(k＋2)³

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4. 如果命题 p(n) 对 n=k 成立，那么它对 n=k+2 也成立，又若 p(n) 对 n=2 成立，则下列结论正确的是（）

A、p(n) 对所有自然数 n 成立 B、p(n) 对所有正偶数 n 成立 C、p(n) 对所有正奇数 n 成立 D、p(n) 对所有大于1的自然数 n 成立

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5. 某个命题与正整数有关，若当n=k $(k \in N^{*})$ 时该命题成立，那么可推得当 n=k+1 时该命题也成立，现已知当 n=4 时该命题不成立，那么可推得（）

A、当 n=5 时，该命题不成立 B、当 n=5 时，该命题成立 C、当 n=3 时，该命题成立 D、当 n=3 时，该命题不成立

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6. 用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2ⁿ·1·3·…·(2n－1)(n∈N^*)时，从n＝k到n＝k＋1，左端需要增加的代数式为（）

A、2k＋1 B、2(2k＋1) C、 $\frac{2 k + 1}{k + 1}$ D、 $\frac{2 k + 3}{k + 1}$

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7. 用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时，xⁿ+yⁿ能被 x+y 整除”，第二步归纳假
设应该写成（）

A、假设当n=k $(k \in N^{*})$ 时， x^k+y^k 能被 x+y 整除 B、假设当N=2K $(k \in N^{*})$ 时， x^k+y^k 能被 x+y 整除 C、假设当N=2K+1 $(k \in N^{*})$ 时， x^k+y^k 能被 x+y 整除 D、假设当 N=2K-1 $(k \in N^{*})$ 时， x^2k-1+y^2k-1能被 x+y 整除

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8. 凸 n 边形有 f(n) 条对角线，则凸 n+1 边形的对角线的条数 f(n+1) 为（）

A、f(n)+n+1 B、f(n)+n C、f(n)+n-1 D、f(n)+n-2

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9. 已知 $f (n) = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + . . . + \frac{1}{3 n - 1} (n \in N^{*})$ ，则f(k+1)= （）

A、 $f (k) + \frac{1}{3 (k + 1) + 1}$ B、 $f (k) + \frac{1}{3 k + 2}$ C、 $f (k) + \frac{1}{3 k + 2} + \frac{1}{3 k + 3} + \frac{1}{3 k + 4} - \frac{1}{k + 1}$ D、 $f (k) + \frac{1}{3 k + 4} - \frac{1}{k + 1}$

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10. 用数学归纳法证明 $1 + 2 + 3 + \dots + n^{2} = \frac{n^{4} + n^{2}}{2}$ ，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上增加（）

A、k²+1 B、（k+1）² C、 $\frac{{(k + 1)}^{4} + {(k + 1)}^{2}}{2}$ D、（k²+1）+（k²+2）+（k²+3）+…+（k+1）²

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11. 用数学归纳法证明等式 $1 + 2 + 3 + . . . + (n + 3) = \frac{(n + 3) (n + 4)}{2} (n \in N^{*})$ 时，第一步验证 n=1 时，左边应取的项是（）

A、1 B、1+2 C、1+2+3 D、1+2+3+4

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12. 用数学归纳法证明1+2+3+...+2ⁿ =2^n-1+2^2n-1 $(n \in N^{*})$ 时，假设n=k时命题成立，则当n=k+1时，左端增加的项数是（）

A、1项 B、k-1 项 C、k 项 D、2^k项

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13. 用数学归纳法证明 $1 + 2 + 3 + . . . + (3 n + 1) = \frac{(3 n + 1) (3 n + 2)}{2}$ ，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（）

A、（3k+2） B、（3k+4） C、（3k+2）+（3k+3） D、（3k+2）+（3k+3）+（3k+4）

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14. 用数学归纳法证明“n³＋(n＋1)³＋(n＋2)³(n∈N^*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开（）

A、(k＋3)³ B、(k＋2)³ C、(k＋1)³ D、(k＋1)³＋(k＋2)³

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15. 已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + . . . + \frac{1}{n - 1} = 2 (\frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 4} + . . . + \frac{1}{2 n})$ 时，若已假设 $n = k (k \geq 2$ 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证（）

A、n=k+1 时等式成立 B、n=k+2 时等式成立 C、n=2k+2 时等式成立 D、n=2(k+2) 时等式成立

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二、填空题

16. 用数学归纳法证明命题： $1^{2} - 2^{2} + 3^{2} - 4^{2} + . . . + {(- 1)}^{n - 1} \frac{n (n + 1)}{2} (n \in N^{*})$ ，从“第 k 步到 k+1 步”时，两边应同时加上．

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17. 用数学归纳法证明“ n³+5n 能被6整除”的过程中，当 n=k+1 时，式子(k+1)³+5(k+1) 应变形为．

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18. 用数学归纳法证明“ 5ⁿ-2ⁿ能被3整除”的第二步中,当 n=k+1 时,为了使用归纳假设,应将5^k+1-2^k+1变形为

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19. 用数学归纳法证明： $1 + a + a^{2} + . . . + a^{n + 1} = \frac{1 - a^{n + 2}}{1 - a} (a \neq 1)$ ，在验证n＝1时，左边计算所得的项为

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20. 已知 $f (n) = \frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + . . . + \frac{1}{n^{2}} (n \in N^{*})$ ，则 f(n) 中共有项．

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21. 在数列{a_n} 中， $a_{1} = \sqrt{2} - 1$ ，前n项和 $S_{n} = \sqrt{n + 1} - 1$ ，先算出数列的前4项的值，根据这些值归纳猜想数列的通项公式

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三、解答题

22. 用数学归纳法证明： $(n + 1) + (n + 2) + . . . + (n + n) = \frac{n (3 n + 1)}{2} (n \in N^{*})$ ．

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23. 用数学归纳法证明： $1 \times 2 \times 3 + 2 \times 3 \times 4 + . . . + n \times (n + 1) \times (n + 2) = \frac{n (n + 1) (n + 2) (n + 3)}{4} (n \in N^{*})$

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24. 求证： n 棱柱中过侧棱的对角面的个数是 $f (n) = \frac{1}{2} n (n - 3)$ ．

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25. 已知 $a_{n} = \frac{1}{n (n + 1)}$ ，数列{a_n} 的前 n 项的和记为 S_n.S

(1)、求S₁ ， S₂ ， S₃的值，猜想S_n的表达式；

(2)、请用数学归纳法证明你的猜想.

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