人教新课标A版选修1-2数学2.2直接证明与间接证明同步检测

试卷更新日期：2016-02-18 类型：同步测试

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一、选择题

1. 用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）

A、a，b都能被3整除 B、a，b都不能被3整除 C、a，b不都能被3整除 D、a不能被3整除

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2. 用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设的内容应为（）

A、假设至少有一个钝角 B、假设至少有两个钝角 C、假设没有一个钝角 D、假设没有一个钝角或至少有两个钝角

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3. 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（　　）

A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、等价条件

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4. 要证明 $\sqrt{3} + \sqrt{7} < 2 \sqrt{5}$ 可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（）

A、综合法 B、分析法 C、反证法 D、归纳法

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5. 命题“任意角 $θ ， \cos^{4} θ - \sin^{4} θ = \cos 2 θ$ ”的证明：
“ $\cos^{4} θ - \sin^{4} θ = (\cos^{2} θ - \sin^{2} θ) (\cos^{2} θ + \sin^{2} θ) = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ = \cos 2 θ$ ”应用了（）

A、分析法 B、综合法 C、综合法、分析法结合使用 D、间接证法

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6. 已知 $α ， β$ 是两个平面，直线 l 不在平面 $α$ 内， l 也不在平面 $β$ 内，设① $l ⊥ α$ ；② $l ∥ β$ ；③ $α ⊥ β$ ．若以其中两个作为条件，另一个作为结论，则正确命题的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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7. 若 a>0，b>0，那么必有（）

A、 $a^{3} + b^{3} \geq a^{2} b + a b^{2}$ B、 $a^{3} + b^{3} > a^{2} b + a b^{2}$ C、 $a^{3} + b^{3} \leq a^{2} b + a b^{2}$ D、 $a^{3} + b^{3} < a^{2} b + a b^{2}$

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8. 已知 $a^{2} + b^{2} = 1$ ， $b^{2} + c^{2} = 2$ ， $c^{2} + a^{2} = 2$ ，则 $a b + b c + c a$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{3} - \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2} - \sqrt{3}$ C、 $- \frac{1}{2} - \sqrt{3}$ D、 $\frac{1}{2} + \sqrt{3}$

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9. 若 0<a<1 ， 0<b<1 且 $a \neq b$ ，则在 a+b ， $2 \sqrt{a b}$ ， $a^{2} + b^{2}$ 和 2ab 中最大的是（）

A、a+b B、 $2 \sqrt{a b}$ C、 $a^{2} + b^{2}$ D、2ab

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10. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
① A+B+C=90⁰+90⁰+C>180⁰ ，这与三角形内角和为 180⁰ 相矛盾， A=B=90⁰不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角 A 、 B 、 C 中有两个直角，不妨设 A=B=90⁰ ，正确顺序的序号为（）

A、①②③ B、③①② C、①③② D、②③①

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11. 用反证法证明命题“若 $\sin θ \sqrt{1 - \cos^{2} θ} + \cos θ \sqrt{1 - \sin^{2} θ} = 1$ ，则 $\sin θ \geq 0$ 且 $\cos θ \geq 0$ ”时，下列假设的结论正确的是（）

A、 $\sin θ \geq 0$ 或 $\cos θ \geq 0$ B、 $\sin θ < 0$ 且 $\cos θ < 0$ C、 $\sin θ < 0$ 或 $\cos θ < 0$ D、 $\sin θ > 0$ 且 $\cos θ > 0$

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12.
①已知p³+q³=2 ，求证： $p + q \leq 2$ ．用反证法证明时，可假设 $p + q \geq 2$ ；
②若 $a ， b \in R ， |a| + |b| < 1$ ，求证：方程x²+ax+b=0 的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根 x₁的绝对值大于或等于1，即假设 $|x_{1}| \geq 1$ $| x_{1} | \geq 1$ ；
以下结论正确的是（）

A、①与②的假设都错误 B、①的假设正确；②的假设错误 C、①与②的假设都正确 D、①的假设错误；②的假设正确

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13. 不相等的三个正数a、b、c成等差数列，并且x是a、b的等比中项，y是b、c的等比中项，则x²、b²、y²三数(　　)

A、成等比数列而非等差数列 B、成等差数列而非等比数列 C、既成等差数列又成等比数列 D、既非等差数列又非等比数列

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14. 设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a²＋b²>2；⑤ab>1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是(　　)

A、②③ B、①②③ C、③ D、③④⑤

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15. 分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证 $\sqrt{b^{2} - a c} < \sqrt{3} a$ ”索的因应是(　　)

A、a－b>0 B、a－c>0 C、(a－b)(a－c)>0 D、(a－b)(a－c)<0

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二、填空题

16. 完成反证法证题的全过程.设a₁ ， a₂ ， …，a₇是1，2，…，7的一个排列，求证：乘积p=(a₁-1)(a₂-2)…(a₇-7)为偶数.证明：假设p为奇数，则a₁-1，a₂-2，…，a₇-7均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数==0.但0≠奇数，这一矛盾说明p为偶数.

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17. 设 $y = f (x) (x \in R ， x \neq 0)$ 对任意非零实数 $x_{1} ， x_{2}$ 均满足 $f (x_{1} x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})$ ，则 $f (x)$ 为函数．（填“奇”或“偶”）

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18. 在等比数列{a_n}和等差数列{b_n}中，a₁＝b₁>0，a₃＝b₃>0，a₁≠a₃ ，则a₅与b₅的大小关系为．

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19. 请阅读下列材料：若两个正实数a₁ ， a₂满足a₁²＋a₂²＝1，那么a₁＋a₂≤ $\sqrt{2}$ .
证明：构造函数f(x)＝(x－a₁)²＋(x－a₂)²＝2x²－2(a₁＋a₂)x＋1，因为对一切实数x ，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a₁＋a₂)²－8≤0，所以a₁＋a₂≤ $\sqrt{2}$ .
根据上述证明方法，若n个正实数满足a₁²＋a₂²＋…＋a_n²＝1时，你能得到的结论为．

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20. 设a，b，c为正数，若 a+b+c=1 ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq$ ．

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三、解答题

21. 已知x∈R，a＝x²＋ $\frac{1}{2}$ ，b＝2－x ， c＝x²－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.

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22. 已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y=ax²+2bx+c，y=bx²+2cx+a，y=cx²+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．

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23. 已知函数 $f (x) = a^{x} + \frac{x - 2}{x + 1} (a > 1)$ ．

(1)、证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；

(2)、用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．

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24. 已知a>0，b>0，m>0，n>0，求证：a^m^＋n＋b^m^＋n≥a^mbⁿ＋aⁿb^m.

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25. 已知非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求证： $\frac{|\vec{a}| + |\vec{b}|}{|\vec{a} + \vec{b}|} \leq \sqrt{2}$ .

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