浙江省浙南名校联盟2019-2020学年高三上学期数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2019-11-27 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} \leq 1}$ ， $B = {x | \lg x \leq 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[0, 1]$ B、 $(0, 1]$ C、 $(0, 1)$ D、 $[- 1, 10]$

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2. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $2$ ，其右焦点为 $F_{2} (2 \sqrt{3}, 0)$ ，则双曲线 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

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3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A、 $4$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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4. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} x + y \geq 1 ， \\ x - y - 2 \leq 0 ， \\ y \leq 1 ， \end{array}$ 则 $\frac{y}{x}$ 的最小值为（）

A、 $- 3$ B、 $3$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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5. 设 $x, y \in R$ ，则“ $0 < x y < 1$ ”是“ $| x | < \frac{1}{| y |}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 函数 $f (x) = \frac{\ln | x |}{x^{3}}$ 的部分图象是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 设 $0 < x < \frac{1}{2}$ ，随机变量 $ξ$ 的分布列如下：

$ξ$

$0$

$1$

$2$

$P$

$0.5$

$0.5 - x$

$x$

则当 $x$ 在 $(0, \frac{1}{2})$ 内增大时（）

A、 $E (ξ)$ 减小， $D (ξ)$ 减小 B、 $E (ξ)$ 增大， $D (ξ)$ 增大 C、 $E (ξ)$ 增大， $D (ξ)$ 减小 D、 $E (ξ)$ 减小， $D (ξ)$ 增大

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8. 设点 $M$ 是长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $A D$ 的中点， $A A_{1} = A D = 4$ ， $A B = 5$ ，点 $P$ 在面 $B C C_{1} B_{1}$ 上，若平面 $D_{1} P M$ 分别与平面 $A B C D$ 和平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成的锐二面角相等，则 $P$ 点的轨迹为（）

A、椭圆的一部分 B、抛物线的一部分 C、一条线段 D、一段圆弧

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9. 已知正三角形 $A B C$ 的边长为2， $D$ 是边 $B C$ 的中点，动点 $P$ 满足 $| \vec{P D} | \leq 1$ ，且 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，其中 $x + y \geq 1$ ，则 $2 x + y$ 的最大值为（）

A、1 B、 $\frac{2}{3}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} + \frac{1}{a_{n + 1}} = 2 a_{n} + \frac{1}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，则（）

A、当 $0 < a_{n} < 1 (n \in N^{*})$ 时，则 $a_{n + 1} > a_{n}$ B、当 $a_{n} > 1 (n \in N^{*})$ 时，则 $a_{n + 1} < a_{n}$ C、当 $a_{1} = \frac{1}{2}$ 时，则 $a_{n + 1} + \frac{1}{a_{n + 1}} > \sqrt{2 n + 4}$ D、当 $a_{1} = 2$ 时，则 $a_{n + 1} + \frac{1}{a_{n + 1}} > \sqrt{3 n + 20}$

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二、填空题

11. 瑞士数学家欧拉于1777年在《微分公式》一书中，第一次用 $i$ 来表示-1的平方根，首创了用符号 $i$ 作为虚数的单位．若复数 $z = \frac{5 - i}{1 + i}$ （ $i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 的虚部为； $| z | =$ ．

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12. 已知 ${(x + a)}^{3} {(x + 1)}^{2}$ 展开式中所有项的系数之和为-4，则 $a =$ ； $x^{2}$ 项的系数为．

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13. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对应的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b = 1$ ， $c = 2$ 且 $2 \cos A (b \cos C + c \cos B) = a$ ，则 $A =$ ；若 $M$ 为边 $B C$ 的中点，则 $| A M | =$ ．

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14. $3$ 名男同学、 $3$ 名女学生和 $2$ 位老师站成一排拍照合影，要求 $2$ 位老师必须站正中间，队伍左右两端不能同时是一男学生与一女学生，则总共有种排法．

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15. 已知点 $P$ 在圆 $x^{2} + y^{2} - 6 y + 8 = 0$ 上，点 $Q$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 上，且 $| P Q |$ 的最大值等于 $5$ ，则椭圆的离心率的最大值等于，当椭圆的离心率取到最大值时，记椭圆的右焦点为 $F$ ，则 $| P Q | + | Q F |$ 的最大值等于．

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16. 已知非零向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ ，满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{3} | \vec{b} |$ ， ${\vec{c}}^{2} = \frac{3}{2} \vec{a} \cdot \vec{c} - 2$ ，则对任意实数 $t$ ， $| \vec{c} - t \vec{b} |$ 的最小值为．

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17. 设函数 $f (x) = | x^{3} - 6 x^{2} + a x + b |$ ，若对任意的实数 $a$ 和 $b$ ，总存在 $x_{0} \in [0 ， 3]$ ，使得 $f (x_{0}) \geq m$ ，则实数 $m$ 的最大值为．

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三、解答题

18. 函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ)$ $(ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的图象过点 $(\frac{1}{2} ， \sqrt{2})$ ，且相邻的最高点与最低点的距离为 $\sqrt{17}$ .
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的解析式；

（Ⅱ）求 $f (x)$ 在 $[0 ， 2]$ 上的单调递增区间.

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A P ⊥$ 平面 $P C D$ ， $A D ∥ B C$ ， $∠ D A B = \frac{π}{2}$ ， $A P = A B = B C = \frac{1}{2} A D$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点， $A C$ 与 $B E$ 相交于点 $O$ .

（Ⅰ）求证： $P O ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

（Ⅱ）求直线 $A B$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值.

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20. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q > 1$ ，且 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 42$ ， $a_{3} + 9$ 是 $a_{1}, a_{5}$ 的等差中项，数列 ${b_{n}}$ 的通项公式 $b_{n} = \frac{2^{n}}{\sqrt{a_{n} - 1} + \sqrt{a_{n + 1} - 1}}$ ， $n \in N^{*}$ .
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）证明： $b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n} < \sqrt{2^{n + 1} - 1}$ ， $n \in N^{*}$ .

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21. 已知点 $A (x_{0} ， y_{0})$ 在抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上， $P ， Q$ 是直线 $y = x + 2$ 上的两个不同的点，且线段 $A P ， A Q$ 的中点都在抛物线上.

（Ⅰ）求 $y_{0}$ 的取值范围；

（Ⅱ）若 $△ A P Q$ 的面积等于 $6 \sqrt{2}$ ，求 $y_{0}$ 的值.

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22. 设 $f (x) = \frac{a}{e^{x}} - b \ln x$ ，其中 $a, b \in R$ ，函数 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = - (\frac{1}{e} + 1) x + \frac{2}{e} + 1$ .其中 $e \approx 2.7182$
（Ⅰ）求证：函数 $f (x)$ 有且仅有一个零点；

（Ⅱ）当 $x \in (0, + \infty)$ 时， $f (x) < \frac{k}{e x}$ 恒成立，求最小的整数 $k$ 的值.

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$ξ$	$0$	$1$	$2$
$P$	$0.5$	$0.5 - x$	$x$