浙江省五校2019-2020学年高三上学期数学联考试卷

试卷更新日期：2019-11-27 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x |lg x > 0}$ ， $B = {x | x^{2} \leq 4}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 $(1, 2)$ B、 $(1, 2]$ C、 $(0, 2]$ D、 $(1, + \infty)$

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2. 已知向量 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，则（）

A、 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ B、 $\vec{b} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ C、 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ D、 $\vec{b} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$

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3. 函数 $f (x) = \frac{3^{x}}{3^{x} + 2^{x}}$ 的值域为（）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(0, 1]$ D、 $(0, 1)$

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $d < 0$ 时， $S_{n}$ 一定存在最大值 B、 $d > 0$ 时， $S_{n}$ 一定存在最大值 C、 $S_{n}$ 存在最大值时， $d < 0$ D、 $S_{n}$ 存在最大值时， $d > 0$

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5. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 2 x + 3 a < 0$ 在 $(0, 2]$ 上有解，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{\sqrt{3}}{3})$ B、 $(- \infty, \frac{4}{7})$ C、 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, + \infty)$ D、 $(\frac{4}{7}, + \infty)$

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6. 已知 $a$ ， $b$ 为实数，则 $0 < b < a < 1$ ，是 $\log_{a} b > \log_{b} a$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 定义 $\max {a ， b} = {\begin{array}{l} a a \geq b \\ b a < b \end{array}$ ，则关于实数 $x ， y$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} | x | \leq 2 \\ | y | \leq 2 \\ \max {x + y ， x - y} \geq 0 \end{array}$ 所表示的平面区域的面积是（）

A、4 B、6 C、8 D、12

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8. 函数 $f (x) = \sin 2 x + 2 \cos x (0 \leq x \leq π)$ ，则 $f (x)$ （）

A、在 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上递增 B、在 $[0 ， \frac{π}{6}]$ 上递减 C、在 $[\frac{π}{6} ， \frac{5 π}{6}]$ 上递减 D、在 $[\frac{π}{6} ， \frac{2 π}{3}]$ 上递增

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9. 在三角形 $A B C$ 中，已知 $\frac{\sin A}{\sin B} + \cos C = 0$ ， $\tan A = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则 $\tan B =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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10. 若不等式 $(| x - a | - b) \sin (π x + \frac{π}{6}) \leq 0$ 对 $x \in [- 1 ， 1]$ 上恒成立，则 $a + b =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、1 D、2

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二、填空题

11. 已知集合 $A = {x | 2 x^{2} - x - 1 < 0}$ ， $B = {x | a < x < b}$ ，若 $A \cup B = {x | - 2 < x < 1}$ ，则 $a =$ ；若 $(∁_{R} A) \cap B = {x | 1 \leq x < 3}$ ，则 $b =$ .

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12. 已知 $a \in (0, \frac{π}{6})$ ，若 $\sin^{2} a + \sin 2 a = 1$ ，则 $\tan a =$ ； $\sin 2 a =$ .

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13. 不等式 $2^{3 x - 1} < {(\frac{1}{2})}^{1 - 2 x}$ 的解集是；不等式 $\log_{2} (3 x - 1) < \log_{\frac{1}{2}} 4$ 的解集是.

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14. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} = {(- 1)}^{n} a_{n} - {(\frac{1}{2})}^{n} (n \in N^{*})$ ，则 $a_{3} =$ ， $S_{7} =$ .

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15. 定义 $\max {a ， b} = {\begin{array}{l} a ， a \geq b \\ b ， a < b \end{array}$ ，已知 $f (x) = \max {| x + 1 | + 1 ， 2 x}$ ， $g (x) = a x + b$ .若 $f (x) \leq g (x)$ 对 $x \in [1 ， + \infty)$ 恒成立，则 $2 a + b$ 的最小值是.

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16. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ ，其中 $| \vec{a} - \vec{b} | = 2$ ， $| \vec{a} - \vec{c} | = 1$ ， $\vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 夹角为 $60 °$ ，且 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{c}) = - 1$ .则 $| \vec{a} |$ 的最大值为.

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17. 已知实数 $a, b$ 满足： $2 b^{2} - a^{2} = 4$ ，则 $| a - 2 b |$ 的最小值为.

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三、解答题

18. 已知 $f (x) = \sin (x + \frac{π}{3}) - \sqrt{3} \cos x$ ， $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边为 $a, b, c$ .

(1)、若 $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ ，求 $f (x)$ 的值域；

(2)、若 $f (A) = \frac{1}{3}$ ， $a = \sqrt{2}$ ， $b = 2$ ，求 $\sin B$ 的值.

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19. 已知多面体 $P - A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $∠ B A D = ∠ P A B = 90 °$ ， $A B = P A = D A = P D = \frac{1}{2} D C$ ， $M$ 为 $P B$ 中点.

(1)、求证： $P A ⊥ C M$ ；

(2)、求直线 $B C$ 与平面 $C D M$ 所成角的正弦.

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20. 设数列 ${a_{n}}$ 是等比数列，数列 ${b_{n}}$ 是等差数列，若 $a_{2} = b_{2} = 3$ ， $a_{3} = b_{5} = 9$ .

(1)、若 $c_{n} = \frac{n \cdot b_{n}}{a_{n}}$ ，数列 ${c_{n}}$ 中的最大项是第 $k$ 项，求 $k$ 的值

(2)、设 $d_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ，求数列 ${d_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$

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21. 过椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左焦点 $F$ 作斜率为 $k_{1} (k_{1} \neq 0)$ 的直线交椭圆于 $A$ ， $B$ 两点， $M$ 为弦 $A B$ 的中点，直线 $O M$ 交椭圆于 $C$ ， $D$ 两点.

(1)、设直线 $O M$ 的斜率为 $k_{2}$ ，求 $k_{1} k_{2}$ 的值；

(2)、若 $F$ ， $B$ 分别在直线 $C D$ 的两侧， ${| M B |}^{2} = | M C | \cdot | M D |$ ，求 $△ F C D$ 的面积.

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22. 设函数 $f (x) = e^{x} + a \sqrt{x + 1} ， x \geq - 1$

(1)、当 $a = - 1$ 时，若 $x_{0}$ 是函数 $f (x)$ 的极值点，求证： $- \frac{1}{2} < x_{0} < 0$ ；

(2)、（i）求证：当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq 1 + x + \frac{1}{2} x^{2} + a \sqrt{x + 1}$ ；
（ii）若不等式 $2 + \frac{5}{4} x + \frac{a}{2} x^{2} \leq \frac{f (x)}{a}$ 对任意 $x \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

注：e=2.71828...为自然对数的底数.

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