青海省2019年中考数学试卷

试卷更新日期：2019-11-27 类型：中考真卷

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一、填空题（本大题共12小题15空，每空2分，共30分）

1. $- 5$ 的绝对值是； $\frac{27}{8}$ 的立方根是.

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2. 分解因式： $m a^{2} - 6 m a + 9 m =$ ；分式方程 $\frac{3}{x - 3} = \frac{2}{x}$ 的解为.

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3. 世界科技不断发展，人们制造出的晶体管长度越来越短，某公司研发出长度只有0.000000006米的晶体管，该数用科学记数法表示为米.

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4. 某种药品原价每盒60元，由于医疗政策改革，价格经过两次下调后现在售价每盒48.6元，则平均每次下调的百分率为.

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5. 如图， $P$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象上的一点，过点 $P$ 向 $x$ 轴作垂线交于点 $A$ ，连接 $O P$ .若图中阴影部分的面积是1，则此反比例函数的解析式为.

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6. 如图，在直角坐标系中，已知点 $A (3 ， 2)$ ，将 $Δ A B O$ 绕点 $O$ 逆时针方向旋转 $180 °$ 后得到 $Δ C D O$ ，则点 $C$ 的坐标是.

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7. 如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据： $A M = 4$ 米， $A B = 8$ 米， $∠ M A D = 45 °$ ， $∠ M B C = 30 °$ ，则 $C D$ 的长为米.（结果保留根号）

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8. 一只不透明的布袋中有三种珠子（除颜色以外没有任何区别），分别是3个红珠子，4个白珠子和5个黑珠子，每次只摸出一个珠子，观察后均放回搅匀，在连续9次摸出的都是红珠子的情况下，第10次摸出红珠子的概率是.

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9. 如图是用杠杆撬石头的示意图， $C$ 是支点，当用力压杠杆的 $A$ 端时，杠杆绕 $C$ 点转动，另一端 $B$ 向上翘起，石头就被撬动.现有一块石头，要使其滚动，杠杆的 $B$ 端必须向上翘起 $10 c m$ ，已知杠杆的动力臂 $A C$ 与阻力臂 $B C$ 之比为 $5 ： 1$ ，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的 $A$ 端向下压 $c m$ .

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10. 根据如图所示的程序，计算 $y$ 的值，若输入 $x$ 的值是1时，则输出的 $y$ 值等于.

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11. 如图在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是以 $A B$ 为直径的半圆与对角线 $A C$ 的交点，若圆的半径等于1，则图中阴影部分的面积为.

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12. 如图，将图1中的菱形剪开得到图2，图中共有4个菱形；将图2中的一个菱形剪开得到图3，图中共有7个菱形；如此剪下去，第5图中共有个菱形 $\dots \dots$ ，第 $n$ 个图中共有个菱形.

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二、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

13. 下面几何体中，俯视图为三角形的是（）

A、 B、 C、 D、

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14. 如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放：两个三角板的一直角边重合，含 $30 °$ 角的三角板的斜边与纸条一边重合，含 $45 °$ 角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则 $∠ 1$ 的度数是（）

A、 $15 °$ B、 $22.5 °$ C、 $30 °$ D、 $45 °$

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15. 如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的重量相等，且每个果冻的重量也相等，则每块巧克力和每个果冻的重量分别为（）

A、 $10 g$ ， $40 g$ B、 $15 g$ ， $35 g$ C、 $20 g$ ， $30 g$ D、 $30 g$ ， $20 g$

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16. 为了了解某班学生每周做家务劳动的时间，某综合实践活动小组对该班50名学生进行了调查，有关数据如下表，这组数据的中位数和众数为（）

每周做家务的时间 $(h)$	0	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4
人数（人 $）$	2	2	6	8	12	13	4	3

A、2.5和2.5 B、2.25和3 C、2.5和3 D、10和13

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17. 如图，小莉从 $A$ 点出发，沿直线前进10米后左转 $20 °$ ，再沿直线前进10米，又向左转 $20 °$ ， $\dots \dots$ ，照这样走下去，她第一次回到出发点 $A$ 时，一共走的路程是（）

A、150米 B、160米 C、180米 D、200米

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18. 如图， $A D / / B E / / C F$ ，直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 与这三条平行线分别交于点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 和点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ .已知 $A B = 1$ ， $B C = 3$ ， $D E = 1.2$ ，则 $D F$ 的长为（）

A、3.6 B、4.8 C、5 D、5，2

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19. 如图，在扇形 $A O B$ 中， $A C$ 为弦， $∠ A O B = 140 °$ ， $∠ C A O = 60 °$ ， $O A = 6$ ，则 $\hat{B C}$ 的长为（）

A、 $\frac{4 π}{3}$ B、 $\frac{8 π}{3}$ C、 $2 \sqrt{3} π$ D、 $2 π$

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20. 大家知道乌鸦喝水的故事，如图，它看到一个水位较低的瓶子，喝不着水，沉思一会后聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水.从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时，设时间变量为 $x$ ，水位高度变量为 $y$ ，下列图象中最符合故事情景的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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三、（本大题共3小题，第21题5分，第2题5分，第23题8分，共18分）

21. 计算： ${(\sqrt{49} - 1)}^{0} + {(- \frac{1}{3})}^{- 1} + | \sqrt{2} - 1 | - 2 \cos 45 °$

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22. 化简求值： $(\frac{3}{m + 2} + m - 2) \div \frac{m^{2} - 2 m + 1}{m + 2}$ ；其中 $m = \sqrt{2} + 1$

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23. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点， $E$ 是 $A D$ 的中点，过点 $A$ 作 $A F / / B C$ 交 $B E$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $C F$ .

(1)、求证： $Δ A E F ≅ Δ D E B$ ；

(2)、证明四边形 $A D C F$ 是菱形.

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四、（本大题共3小题，第24题9分，第25题8分，第26题9分，共26分）

24. 某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共30辆调拨不超过190吨蔬菜和162吨肉制品补充当地市场.已知一辆大型车可运蔬菜8吨和肉制品5吨；一辆中型车可运蔬菜3吨和肉制品6吨.

(1)、符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来；

(2)、若一辆大型车的运费是900元，一辆中型车的运费为600元，试说明（1）中哪种运输方案费用最低？最低费用是多少元？

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25. 如图，在 $⊙ O$ 中，点 $C$ 、 $D$ 分别是半径 $O B$ 、弦 $A B$ 的中点，过点 $A$ 作 $A E ⊥ C D$ 于点 $E$ .

(1)、求证： $A E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A E = 2$ ， $\sin ∠ A D E = \frac{2}{3}$ ，求 $⊙ O$ 的半径.

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26. “只要人人献出一点爱，世界将变成美好的人间”.某大学利用“世界献血日”开展自愿义务献血活动，经过检测，献血者血型有“ $A$ 、 $B$ 、 $A B$ 、 $O$ ”四种类型，随机抽取部分献血结果进行统计，根据结果制作了如图两幅不完整统计图表（表，图）
$：$

血型统计表

血型

$A$

$B$

$A B$

$O$

人数

10

5

(1)、本次随机抽取献血者人数为人，图中 $m =$ ；

(2)、补全表中的数据；

(3)、若这次活动中该校有1300人义务献血，估计大约有多少人是 $A$ 型血？

(4)、现有4个自愿献血者，2人为 $O$ 型，1人为 $A$ 型，1人为 $B$ 型，若在4人中随机挑选2人，利用树状图或列表法求两人血型均为 $O$ 型的概率.

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五、（本大题共2小题，第27题10分，第28题12分，共22分）

27. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积.若改用现代数学语言表示，其形式为：设 $a$ ， $b$ ， $c$ 为三角形三边， $S$ 为面积，则 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}$ ①
这是中国古代数学的瑰宝之一.

而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设 $p = \frac{a + b + c}{2}$ （周长的一半），则 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ②

(1)、尝试验证.这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；

(2)、问题探究.经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从① $\Rightarrow$ ②或者② $\Rightarrow$ ① $）$ ；

(3)、问题引申.三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式.请你证明如下这个公式：如图， $Δ A B C$ 的内切圆半径为 $r$ ，三角形三边长为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，仍记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ， $S$ 为三角形面积，则 $S = p r$ .

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28. 如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点 $A (1 ， 0)$ 、 $B (5 ， 0)$ 、 $C (0 ， 4)$ 三点.

(1)、求抛物线的解析式和对称轴；

(2)、 $P$ 是抛物线对称轴上的一点，求满足 $P A + P C$ 的值为最小的点 $P$ 坐标（请在图1中探索）；

(3)、在第四象限的抛物线上是否存在点 E ，使四边形 OEBF 是以 OB 为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点 E 坐标，若不存在请说明理由（请在图2中探索）

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血型	$A$	$B$	$A B$	$O$
人数		10	5