2017年山西省太原市高考数学二模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-07-19 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、选择题

1. 已知 $\frac{1 - i}{z}$ =（1+i）²（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）

A、﹣ $\frac{1}{2}$ ﹣ $\frac{1}{2}$ i B、﹣ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ i C、 $\frac{1}{2}$ ﹣ $\frac{1}{2}$ i D、 $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ i

查看试题解析
2. 已知全集U=R，A={0，1，2，3}，B={y|y=2^x ， x∈A}，则（∁_UA）∩B=（）

A、（﹣∞，0）∪（3，+∞） B、{x|x＞3，x∈N} C、{4，8} D、[4，8]

查看试题解析
3. 已知 $\vec{a}$ =（2，1）， $\vec{b}$ =（﹣1，1），则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影为（）

A、﹣ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、﹣ $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

查看试题解析
4. 已知S_n是等差数列a_n的前n项和，且S₃=2a₁ ，则下列结论错误的是（）

A、a₄=0 B、S₄=S₃ C、S₇=0 D、a_n是递减数列

查看试题解析
5. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的概率为 $\frac{1}{5}$ ，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

查看试题解析
6. 执行如图的程序框图，则输出的S=（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、0

查看试题解析
7. 函数f（x）= $\frac{l n | x - 1 |}{| 1 - x |}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

查看试题解析
9. 已知实数x，y满足 ${\begin{matrix} 3 x + y - 7 \geq 0 \\ x + 3 y - 13 \leq 0 \\ x - y - 1 \leq 0 \end{matrix}$ ，则z=|2x﹣3y+4|的最大值为（）

A、3 B、5 C、6 D、8

查看试题解析
10. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{3}$ ﹣y²=1的右焦点是抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，直线y=kx+m与抛物线交于A，B两个不同的点，点M（2，2）是AB的中点，则△OAB（O为坐标原点）的面积是（）

A、4 $\sqrt{3}$ B、3 $\sqrt{13}$ C、 $\sqrt{14}$ D、2 $\sqrt{3}$

查看试题解析
11. 已知f（x）=x²e^x ，若函数g（x）=f²（x）﹣kf（x）+1恰有四个零点，则实数k的取值范围是（）

A、（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B、（2， $\frac{4}{e^{2}}$ + $\frac{e^{2}}{4}$ ） C、（ $\frac{8}{e^{2}}$ ，2） D、（ $\frac{4}{e^{2}}$ + $\frac{e^{2}}{4}$ ，+∞）

查看试题解析
12. 已知函数f（x）=（2a﹣1）x﹣ $\frac{1}{2}$ cos2x﹣a（sinx+cosx）在[0， $\frac{π}{2}$ ]上单调递增，则实数a的取值范围为（）

A、（﹣∞， $\frac{1}{3}$ ] B、[ $\frac{1}{3}$ ，1] C、[0，+∞） D、[1，+∞）

查看试题解析

二、填空题

13. 已知sin（ $\frac{π}{2}$ ﹣α）=﹣ $\frac{3}{5}$ ，0＜α＜π，则sin2α= ．

查看试题解析
14. （2x+ $\frac{1}{x}$ ﹣1）⁵的展开式中常数项是．

查看试题解析
15. 已知三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BC=2，BD=CD= $\sqrt{2}$ ，点E是BC的中点，点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点，则该三棱锥外接球的表面积为．

查看试题解析
16. 已知点O是△ABC的内心，∠BAC=30°，BC=1，则△BOC面积的最大值为．

查看试题解析

三、解答题

17. 已知数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ⁺¹﹣2，数列{b_n}满足b_n=a_n+a_n₊₁（n∈N*）．

(1)、求数列{b_n}的通项公式；

(2)、若c_n=log₂a_n（n∈N*），求数列{b_n•c_n}的前n项和T_n ．

查看试题解析
18. 某商城举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖规则如下：
抽奖方案有以下两种，方案a：从装有2个红球、3个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金30元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中，方案b：从装有3个红球、2个白球（仅颜色相同）的乙袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．
抽奖条件是，顾客购买商品的金额买100元，可根据方案a抽奖一次：满150元，可根据方案b抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为260元，则该顾客可以根据方案a抽奖两次或方案b抽奖一次或方案a、b各抽奖一次）．已知顾客A在该商场购买商品的金额为350元．

(1)、若顾客A只选择方案a进行抽奖，求其所获奖金的期望值；

(2)、要使所获奖金的期望值最大，顾客A应如何抽奖．

查看试题解析
19. 如图（1）在平面六边形ABCDEF，四边形ABCD是矩形，且AB=4，BC=2，AE=DE= $\sqrt{2}$ ，BF=CF= $\sqrt{5}$ ，点M，N分别是AD，BC的中点，分别沿直线AD，BC将△DEF，△BCF翻折成如图（2）的空间几何体ABCDEF．

(1)、利用下面的结论1或结论2，证明：E、F、M、N四点共面；
结论1：过空间一点作已知直线的垂面，有且只有一个；
结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个．

(2)、若二面角E﹣AD﹣B和二面角F﹣BC﹣A都是60°，求二面角A﹣BE﹣F的余弦值．

查看试题解析
20.
如图，曲线C由左半椭圆M： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0，x≤0）和圆N：（x﹣2）²+y²=5在y轴右侧的部分连接而成，A，B是M与N的公共点，点P，Q（均异于点A，B）分别是M，N上的动点．

(1)、若|PQ|的最大值为4+ $\sqrt{5}$ ，求半椭圆M的方程；

(2)、若直线PQ过点A，且 $\vec{A Q}$ =﹣2 $\vec{A P}$ ， $\vec{B P}$ ⊥ $\vec{B Q}$ ，求半椭圆M的离心率．

查看试题解析
21. 已知函数f（x）=（mx²﹣x+m）e^﹣^x（m∈R）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当m＞0时，证明：不等式f（x）≤ $\frac{m}{x}$ 在（0，1+ $\frac{1}{m}$ ]上恒成立．

查看试题解析
22. 在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 c o s φ \\ y = s i n φ \end{matrix}$ （其中φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ（tanα•cosθ﹣sinθ）=1（α为常数，0＜α＜π，且α≠ $\frac{π}{2}$ ），点A，B（A在x轴下方）是曲线C₁与C₂的两个不同交点．

(1)、求曲线C₁普通方程和C₂的直角坐标方程；

(2)、求|AB|的最大值及此时点B的坐标．

查看试题解析
23. 已知函数f（x）=|x+m|+|2x﹣1|（m＞0）．

(1)、当m=1时，解不等式f（x）≥3；

(2)、当x∈[m，2m²]时，不等式 $\frac{1}{2}$ f（x）≤|x+1|恒成立，求实数m的取值范围．

查看试题解析