2017年山西省吕梁市孝义市高考数学考前模拟试卷（理科）（5月份）

试卷更新日期：2017-07-19 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知复数z= $\frac{2 i}{1 + i}$ ，则z• $\bar{z}$ =（）

A、2 B、2i C、4 D、4i

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2. 已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（1，﹣2），则sin2α=（）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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3. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} f (x + 2) ， x < 3 \\ {(\frac{1}{2})}^{x} ， x \geq 3 \end{matrix}$ ，则f（﹣4）=（）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 现有4张卡片，正面分别标有1，2，3，4，背面完全相同．将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽取一张，抽取后不放回，甲先抽．若二人约定，先抽到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是（）

A、 $\frac{5}{12}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{7}{12}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5. 定义： $| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | = a d - b c$ ，如 $| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} | = 1 \times 4 - 2 \times 3 = - 2$ ，则 $| \begin{matrix} \int_{1}^{2} x d x & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix} |$ =（）

A、0 B、 $\frac{3}{2}$ C、3 D、6

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6. 在（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）¹¹的展开式中，x²的系数是（）

A、55 B、66 C、165 D、220

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7. 若| $\vec{a}$ |= $\sqrt{2}$ ，| $\vec{b}$ |=1，| $\vec{c}$ |= $\sqrt{3}$ ，且 $\vec{a}$ • $\vec{b}$ =﹣1，则 $\vec{a}$ • $\vec{c}$ + $\vec{b}$ • $\vec{c}$ 的最大值是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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8. 如果x，y满足 ${\begin{matrix} 2 x - y + 1 \leq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \\ 2 x + y + 5 \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = \frac{x + 2 y - 3}{x + 1}$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - \frac{8}{5}] \cup^{} [3 ， + \infty)$ B、 $[- 1 ， \frac{1}{7}]$ C、（﹣1，0]∪[3，+∞） D、（﹣∞，﹣1]∪[7，+∞）

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9. 已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，点Q（0， $\sqrt{3}$ ），射线FQ与C交于点E，与C的准线交于点P，且 $\vec{P E} = 2 \vec{E F}$ ，则点E到y轴的距离是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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10. 已知A，B是半径为 $2 \sqrt{3}$ 的球面上的两点，过AB作互相垂直的两个平面α、β，若α，β截该球所得的两个截面的面积之和为16π，则线段AB的长度是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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11. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A（3 $\sqrt{3}$ ，﹣3）出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为（x，y），其纵坐标满足y=f（t）=Rsin（ωt+φ）（t≥0，ω＞0，|φ|＜ $\frac{π}{2}$ ）．则下列叙述错误的是（）

A、 $R = 6 ， ω = \frac{π}{30} ， φ = - \frac{π}{6}$ B、当t∈[35，55]时，点P到x轴的距离的最大值为6 C、当t∈[10，25]时，函数y=f（t）单调递减 D、当t=20时， $| P A | = 6 \sqrt{3}$

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12. 若关于x的不等式x（1+lnx）+2k＞kx的解集为A，且（2，+∞）⊆A，则整数k的最大值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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二、填空题

13. 已知集合A={x∈Z|y=log₃（x+5）}，B={x∈R|2^x＜ $\frac{1}{2}$ }，则A∩B= ．

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14. 过双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与C的渐近线相交于A，B两点，若△AOB（O为原点）为正三角形，则C的离心率是．

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15. 现有若干（大于20）件某种自然生长的中药材，从中随机抽取20件，其重量都精确到克，规定每件中药材重量不小于15克为优质品．如图所示的程序框图表示统计20个样本中的优质品数，其中m表示每件药材的重量，则图中①，②两处依次应该填的整数分别是．

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16. 如图，已知正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E为线段A₁B₁的中点，点F，G分别是线段A₁D与BC₁上的动点，当三棱锥E﹣FGC的俯视图的面积最大时，该三棱锥的正视图的面积是．

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三、解答题.

17. 数列{a_n}满足a_n+5a_n₊₁=36n+18，n∈N^* ，且a₁=4．

(1)、写出{a_n}的前3项，并猜想其通项公式；

(2)、用数学归纳法证明你的猜想．

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18. 某印刷厂为了研究印刷单册书籍的成本y（单位：元）与印刷册数x（单位：千册）之间的关系，在印制某种书籍时进行了统计，相关数据见下表：

印刷册数（千册）	2	3	4	5	8
单册成本（元）	3.2	2.4	2	1.9	1.7

根据以上数据，技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲： ${\overset{\land}{y}}^{(1)}$ = $\frac{4}{x} + 1.1$ ，方程乙： $\overset{\land^{(2)}}{y}$ = $\frac{6.4}{x^{2}} + 1.6$ ．

(1)、为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务．

①完成下表（计算结果精确到0.1）；

印刷册数x（千册）		2	3	4	5	8
单册成本y（元）		3.2	2.4	2	1.9	1.7
模型甲	估计值 ${\overset{\land}{y_{i}}}^{(1)}$		2.4	2.1		1.6
模型甲	残差 ${\overset{\land}{e_{i}}}^{(1)}$		0	﹣0.1		0.1
模型乙	估计值 ${\overset{\land}{y_{i}}}^{(2)}$		2.3	2	1.9
模型乙	残差 ${\overset{\land}{e_{i}}}^{(2)}$		0.1	0	0

②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q₁及Q₂ ，并通过比较Q₁ ， Q₂的大小，判断哪个模型拟合效果更好．

(2)、该书上市之后，受到广大读者热烈欢迎，不久便全部售罄，于是印刷厂决定进行二次印刷．根据市场调查，新需求量为8千册（概率0.8）或10千册（概率0.2），若印刷厂以每册5元的价格将书籍出售给订货商，问印刷厂二次印刷8千册还是10千册能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本）

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19. 如图（1），五边形ABCDE中，ED=EA，AB∥CD，CD=2AB，∠EDC=150°．如图（2），将△EAD沿AD折到△PAD的位置，得到四棱锥P﹣ABCD．点M为线段PC的中点，且BM⊥平面PCD．

(1)、求证：平面PAD⊥平面ABCD；

(2)、若直线PC与AB所成角的正切值为 $\frac{1}{2}$ ，求直线BM与平面PDB所成角的正弦值．

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20. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且过点 $(1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ．

(1)、求E的方程；

(2)、若直线l：y=kx+m（k＞0）与E相交于P，Q两点，且OP与OQ（O为坐标原点）的斜率之和为2，求O到直线l距离的取值范围．

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21. 已知函数f（x）=e^x ．

(1)、讨论函数g（x）=f（ax）﹣x﹣a的单调性；

(2)、证明：f（x）+lnx+ $\frac{3}{x} > \frac{4}{\sqrt{x}}$ ．

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22. 已知直线l： ${\begin{matrix} x = 1 + t c o s α \\ y = t s i n α \end{matrix}$ （其中t为参数，α为倾斜角）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ= $\frac{c o s θ}{s i n^{2} θ}$ ．

(1)、求C的直角坐标方程，并求C的焦点F的直角坐标；

(2)、已知点P（1，0），若直线l与C相交于A，B两点，且 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ =2，求△FAB的面积．

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23. 已知函数f（x）=|x+2|+|x﹣2|．

(1)、求不等式f（x）≤6的解集A；

(2)、若m，n∈A，试证：| $\frac{1}{3}$ m﹣ $\frac{1}{2}$ n|≤ $\frac{5}{2}$ ．

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