陕西省汉中市2019-2020学年高三上学期理数第四次质量检测试卷

试卷更新日期：2019-11-25 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 A={x|x²-2x-3≥0} ， $B = {x | 1 < x < 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 3)$ B、 $[3, 4)$ C、 $(- \infty, 3) \cup [4, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (3, + \infty)$

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2. 若复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 满足： $(1 - i) \bar{z} = 2 i$ ，则复数 $z$ 等于（）

A、 $1 + i$ B、 $- 1 + i$ C、 $1 - i$ D、 $- 1 - i$

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3. 若向量 $\vec{a} = (1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 1)$ ， $\vec{c} = (- 1 ， 2)$ ，则 $\vec{c}$ 等于（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{3}{2} \vec{b}$ B、 $- \frac{3}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{3}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{3}{2} \vec{b}$

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4. $A 4$ 纸是生活中最常用的纸规格. $A$ 系列的纸张规格特色在于：① $A 0$ 、 $A 1$ 、 $A 2$ 、…、 $A 5$ ，所有尺寸的纸张长宽比都相同.②在 $A$ 系列纸中，前一个序号的纸张以两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后，可以得到两张后面序号大小的纸，比如1张 $A 0$ 纸对裁后可以的到2张 $A 1$ 纸，1张 $A 1$ 纸对裁可以得到2张 $A 2$ 纸，以此类推.这是因为 $A$ 系列的纸张长宽比为 $\sqrt{2} : 1$ 这一特殊比例，所以具备这种特性.已知 $A 0$ 纸规格为84.1厘米×118.9厘米（ $118.9 \div 84.1 \approx 1.41 \approx \sqrt{2}$ ）.那么 $A 4$ 纸的长度为（）

A、14.8厘米 B、21厘米 C、25.1厘米 D、29.7厘米

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5. 如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的（）

A、平均数不变，方差不变 B、平均数改变，方差改变 C、平均数不变，方差改变 D、平均数改变，方差不变

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6. 设 $a = {(\frac{1}{2})}^{0.2}, b = \log_{2} 3, c = 2^{- 0.3}$ ，则（）

A、 $b > c > a$ B、 $a > b > c$ C、 $b > a > c$ D、 $p = 2$

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7. 给出三个命题：①直线上有两点到平面的距离相等，则直线平行平面；②夹在两平行平面间的异面直线段的中点的连线平行于这个平面；③过空间一点必有唯一的平面与两异面直线平行.正确的是（）

A、②③ B、①② C、①②③ D、②

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8. 函数 $f (x) = x | x | - \sin 2 x$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 点 $M$ 到定点 $F (2, 0)$ 的距离和它到定直线 $x = 8$ 的距离之比为 $1 : 2$ ，则 $M$ 的轨迹方程是（）

A、 $y^{2} = 8 x$ B、 $y^{2} = - 8 (x - 4)$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$

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10. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{4})$ ，若方程 $f (x) = \frac{1}{3}$ 在区间 $(0 ， π)$ 内的解为 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则 $\sin (x_{1} - x_{2}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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11. 椭圆与双曲线共焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，它们的交点 $P$ 对两公共焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 张的角为 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ .椭圆与双曲线的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，则（）

A、 $\frac{3}{4 e_{1}^{2}} + \frac{1}{4 e_{2}^{2}} = 1$ B、 $\frac{1}{4 e_{1}^{2}} + \frac{3}{4 e_{2}^{2}} = 1$ C、 $\frac{4 e_{1}^{2}}{3} + 4 e_{2}^{2} = 1$ D、 $4 e_{1}^{2} + \frac{4 e_{2}^{2}}{3} = 1$

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12. 已知偶函数 $f (x)$ 满足 $f (4 + x) = f (4 - x)$ ，且当 $x \in (0 ， 4]$ 时， $f (x) = \frac{\ln (2 x)}{x}$ ，关于 $x$ 的不等式 $f^{2} (x) + a f (x) > 0$ 在区间 $[- 200 ， 200]$ 上有且只有 $300$ 个整数解，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \ln 2 ， - \frac{1}{3} \ln 6)$ B、 $(- \ln 2 ， - \frac{1}{3} \ln 6]$ C、 $(- \frac{1}{3} \ln 6 ， - \frac{3 \ln 2}{4})$ D、 $(- \frac{1}{3} \ln 6 ， - \frac{3 \ln 2}{4}]$

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二、填空题

13. 已知某市的1路公交车每5分钟发车一次，小明到达起点站乘车的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是.

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14. 过原点作函数 $y = e^{x}$ 的图像的切线，则切线方程是.

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15. $D$ 是直角 $Δ A B C$ 斜边 $B C$ 上一点， $A C = \sqrt{3} D C$ ， $B D = 2 D C$ ， $A B = \sqrt{6}$ ，则 $A D$ 的长为.

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16. 古希腊毕达哥拉斯学派研究了“多边形数”，人们把多边形数推广到空间，研究了“四面体数”，下图是第一至第四个四面体数，（已知 $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \cdot \cdot \cdot + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ ）

观察上图，由此得出第5个四面体数为（用数字作答）；第 $n$ 个四面体数为.

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三、解答题

17. 如图，四边形 $A B C D$ 是菱形，四边形 $A D N M$ 是矩形，平面 $A D N M ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ D A B = 60^{\circ}$ ， $A D = 2$ ， $A M = 1$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点， $P$ 为线段 $C M$ 上的中点.

(1)、求证： $D E ⊥ C N$ ；

(2)、求二面角 $P - D E - C$ 的大小.

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18. 某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为 $\frac{8}{15}$ ；
（Ⅰ）求该小组中女生的人数；

（Ⅱ）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为 $\frac{3}{4}$ ，每个男生通过的概率均为 $\frac{2}{3}$ ；现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列和数学期望.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 是首项为1，公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列， $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}$ .

(1)、若 $S_{n}$ ， $\frac{9}{8}$ ， $a_{n - 1}$ 成等差数列，求 $n$ 的值；

(2)、求数列 ${\frac{2 a_{n + 1}}{S_{n} S_{n + 1}}}$ 前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 设 $f (x) = ln x + a x$ ， $g (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - (2 a + 1) x$ .

(1)、若 $a = 1$ ，证明： $x \in [1, 2]$ 时， $f (x) - 3 < \frac{1}{x}$ 成立；

(2)、讨论函数 $h (x) = f (x) + g (x)$ 的单调性；

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21. $F$ 是抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点， $M$ 是抛物线 $C$ 上位于第一象限内的任意一点，过 $M ， F ， O$ 三点的圆的圆心为 $Q$ ，点 $Q$ 到抛物线 $C$ 的准线的距离为 $\frac{3}{4}$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若点 $M$ 的横坐标为 $\sqrt{2}$ ，直线 $l ： x = m y + \frac{1}{4}$ 与抛物线 $C$ 有两个不同的交点 $A ， B ， l$ 与圆 $Q$ 有两个不同的交点 $D ， E$ ，求当 $\frac{1}{2} \leq m \leq 2$ 时， ${| A B |}^{2} + {| D E |}^{2}$ 的最小值.

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22. 在极坐标系中，已知三点 $O (0, 0)$ ， $A (2, \frac{π}{2})$ ， $B (2 \sqrt{2}, \frac{π}{4})$ .

(1)、求经过 $O$ ， $A$ ， $B$ 三点的圆 $C_{1}$ 的极坐标方程；

(2)、以极点为坐标原点，极轴为 $x$ 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆 $C_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 1 + a c o s θ \\ y = - 1 + a s i n θ \end{matrix}$ ，（ $θ$ 是参数），若圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 外切，求实数 $a$ 的值.

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23. 已知 $f (x) = | x + 1 | + | x - 1 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) < 4$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x) - | a + 1 | < 0$ 有解，求 $a$ 的取值范围.

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