广东省佛山市禅城区2019-2020学年高三理数统一调研测试卷

试卷更新日期：2019-11-22 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 \geq 0}$ ， $B = {x | - 2 \leq x < 2}$ ，则 $A \cap B$ 等于（）

A、 $[- 2, - 1]$ B、 $[- 1, 1]$ C、 $[- 1, 2)$ D、 $[1, 2)$

查看试题解析
2. 复数 $\frac{2 + i}{1 - 2 i}$ 的共轭复数是（）

A、 $- i$ B、ｉ C、 $- \frac{3}{5} i$ D、 $\frac{3}{5} i$

查看试题解析
3. 方程 $\log_{2} (\frac{x}{2}) + 2 x = 0$ 的根所在的一个区间是（）

A、 $(\frac{1}{4} ， \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(\sqrt{2} ， 2)$

查看试题解析
4. 设首项为 $1$ ，公比为 $\frac{2}{3}$ 的等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ B、 $S_{n} = 3 a_{n} - 2$ C、 $S_{n} = 4 - 3 a_{n}$ D、 $S_{n} = 3 - 2 a_{n}$

查看试题解析
5. 下列函数既是奇函数，又在 $[- 1 ， 1]$ 上单调递增的是 $($ 　　 $)$

A、 $f (x) = | sin x |$ B、 $f (x) = ln \frac{e - x}{e + x}$ C、 $f (x) = \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$ D、 $f (x) = ln (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$

查看试题解析
6. 已知sin2α= $\frac{2}{3}$ ，则cos²（α+ $\frac{π}{4}$ ）=（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

查看试题解析
7. 平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，且 $(4 \vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 3 \vec{b}) = 2$ ，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

查看试题解析
8. 已知数列 $｛ a_{n} ｝$ 是等差数列， $a_{1} = 2$ ，其中公差 $d \neq 0$ .若 $a_{5}$ 是 $a_{3}$ 和 $a_{8}$ 的等比中项，则 $S_{18} =$ （）

A、398 B、388 C、189 D、199

查看试题解析
9. 函数 $f (x) = \sin (2 x + φ)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后所得的图象关于原点对称，则 $φ$ 可以是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

查看试题解析
10. 若函数 $y = f (x)$ 满足 $f (x + 1) = f (x - 1)$ ，且 $x \in [- 1 ， 1]$ 时， $f (x) = 1 - x^{2}$ ，函数 $g (x) = {\begin{matrix} \lg x ， x > 0 \\ - \frac{1}{x} ， x < 0 \end{matrix}$ ，则函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 在 $[- 5 ， 5]$ 内的零点个数为（）

A、 $7$ B、 $8$ C、 $9$ D、 $10$

查看试题解析
11. 西安市为了缓解交通压力，实行机动车限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末（周六和周日）不限行某公司有 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶.已知 $E$ 车周四限行， $B$ 车昨天限行，从今天算起， $A$ ， $C$ 两车连续四天都能上路行驶， $E$ 车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是（）

A、今天是周四 B、今天是周六 C、 $A$ 车周三限行 D、 $C$ 车周五限行

查看试题解析
12. 已知函数 $f (x) = \ln \frac{x}{2} + \frac{1}{2} ， g (x) = e^{x - 2} ，$ 若 $g (m) = f (n)$ 成立，则 $n - m$ 的最小值为（）

A、 $1 - \ln 2$ B、 $\ln 2$ C、 $2 \sqrt{e} - 3$ D、 $e^{2} - 3$

查看试题解析

二、填空题

13. 设 $0 < θ < \frac{π}{2}$ ，向量 $\vec{a} = (s i n 2 θ, \cos θ)$ ， $b = (c o s θ, 1)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $\tan θ =$ ．

查看试题解析
14. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ A B C = \frac{π}{4}$ ， $A B = \sqrt{2}$ ， $B C = 3$ ，则 $\sin ∠ B A C =$ ．

查看试题解析
15. 已知命题 $p : \exists x_{0} \in R$ ， $m x_{0}^{2} + 1 \leq 0$ ，命题 $q : \forall x \in R$ ， $x^{2} + m x + 1 > 0$ ，若 $p \lor q$ 为假命题，则实数 $m$ 的取值范围为．

查看试题解析
16. 如图放置的边长为1的正方形 $P A B C$ 沿 $x$ 轴滚动，点 $B$ 恰好经过原点.设顶点 $P (x ， y)$ 的轨迹方程是 $y = f (x)$ ，则对函数 $y = f (x)$ 有下列判断：①函数 $y = f (x)$ 是偶函数；②对任意的 $x \in R$ ，都有 $f (x + 2) = f (x - 2)$ ；③函数 $y = f (x)$ 在区间 $\frac{1}{e}$ 上单调递减；④函数 $y = f (x)$ 的值域是 $[0 ， 1]$ ；⑤ $\int_{0}^{2} f (x) d x = \frac{π + 1}{2}$ .其中判断正确的序号是．

查看试题解析

三、解答题

17. 锐角 $Δ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $2 \sin A (a \cos B + b \cos A) = \sqrt{3} a$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = \sqrt{13}$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，求 $Δ A B C$ 的周长.

查看试题解析
18. 在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 \cos θ$ ，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ \cos (θ + \frac{π}{4}) = 2 \sqrt{2}$ ，两条曲线交于 $A ， B$ 两点.

(1)、求直线 $l$ 与曲线 $C_{1}$ 交点的极坐标；

(2)、已知 $P$ 为曲线 $C_{2} ： {\begin{array}{l} x = 2 \cos φ \\ y = \sin φ \end{array}$ ( $φ$ 为参数)上的一动点，设直线 $l$ 与曲线 $C_{1}$ 的交点为 $A ， B$ ，求 $Δ P A B$ 的面积的最小值.

查看试题解析
19. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x$ 在 $x = - 2$ 与 $x = \frac{1}{2}$ 处都取得极值．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式及单调区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 3, 2]$ 的最大值与最小值．

查看试题解析
20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = n a_{n} + 2 a_{n} - 1$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${\frac{1}{a_{n}^{2}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < 4$ ．

查看试题解析
21. 某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况，从产品中随机抽取了 $80$ 个进行测量，根据所测量的数据画出频率分布直方图如下：

如果：尺寸数据在 $[63.0 ， 64.5)$ 内的零件为合格品，频率作为概率.

(1)、从产品中随机抽取 $4$ 件，合格品的个数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列与期望：

(2)、为了提高产品合格率，现提出 $A$ ， $B$ 两种不同的改进方案进行试验，若按 $A$ 方案进行试验后，随机抽取 $15$ 件产品，不合格个数的期望是 $2$ ：若按 $B$ 方案试验后，抽取 $25$ 件产品，不合格个数的期望是 $4$ ，你会选择哪个改进方案?

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = a x ln x + b (a ， b$ 为实数)的图像在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $y = x - 1$ .

(1)、求实数 $a ， b$ 的值及函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、设函数 $g (x) = \frac{f (x) + 1}{x}$ ，证明 $g (x_{1}) = g (x_{2}) (x_{1} < x_{2})$ 时， $x_{1} + x_{2} > 2$ .

查看试题解析